1福井大学 2014年 数学 第1問解答・解説

$AM:MB=1:t$ より $$\displaystyle \overrightarrow{OM}=\frac{t\vec a+\vec b}{1+t}.$$ 三角形 $OAM$ で $ON$ は $\angle AOM$ の二等分線だから、角の二等分線の定理より $AN:NM=OA:OM=1:s$。従って $$\displaystyle \overrightarrow{ON}=\frac{s\vec a+\overrightarrow{OM}}{1+s}=\frac{(s(t+1)+t)\vec a+\vec b}{(s+1)(t+1)}.$$

(2) $AB=L$ とすると $AM=L/(1+t)$、$BM=tL/(1+t)$。また $AN=AM/(1+s)$。条件 $AN=BM$ より $1/(1+s)=t$、したがって $s=(1-t)/t$。$q=\vec a\cdot\vec b$ とおくと $|\vec a|=|\vec b|=1$ だから $$\displaystyle s^2=|OM|^2=\frac{t^2+1+2tq}{(1+t)^2},\qquad q=\frac{1-3t^2}{2t^3}.$$

(3) $x=\cos\angle BOM=\vec b\cdot\overrightarrow{OM}/s=(1+tq)/((1+t)s)=1/(2t)$。条件 $x^2+q=0$ に代入して $$\displaystyle \frac{1}{4t^2}+\frac{1-3t^2}{2t^3}=0\quad\text{より}\quad6t^2-t-2=0.$$ 根は $2/3,-1/2$ で、$1/2<t<1$ より $t=2/3$。このとき $q=-9/16$。ゆえに $$\displaystyle AB^2=|\vec b-\vec a|^2=2-2q=\frac{25}{8},\qquad\boxed{AB=\frac{5\sqrt2}{4}}.$$