3山形大学 2025年 数学 第3問解答・解説

$\mathbf b=\overrightarrow{AB}$、$\mathbf c=\overrightarrow{AC}$ とおく。すると $|\mathbf b|=5$、$|\mathbf c|=8$、$|\mathbf c-\mathbf b|=BC=7$。

(1) 内積の公式（余弦定理と同じ展開）から $$49=|\mathbf c-\mathbf b|^2=|\mathbf c|^2+|\mathbf b|^2-2\mathbf b\cdot\mathbf c =64+25-2\mathbf b\cdot\mathbf c,$$ 従って $\mathbf b\cdot\mathbf c=20$。

(2) $\cos A=(\mathbf b\cdot\mathbf c)/(|\mathbf b||\mathbf c|)=1/2$。三角形の内角なので $\sin A=\sqrt3/2$ であり、 $$\displaystyle [ABC]=\frac12\cdot5\cdot8\cdot\frac{\sqrt3}{2}=10\sqrt3.$$ 半周長は $(5+7+8)/2=10$ だから、面積 $=$ 内接円半径 $\times$ 半周長より半径は $\sqrt3$。

(3) 角の二等分線の定理から $AD:DC=AB:BC=5:7$、$AE:EB=AC:CB=8:7$。よって $$\displaystyle \overrightarrow{AD}=\frac5{12}\mathbf c,\qquad \overrightarrow{AE}=\frac8{15}\mathbf b.$$

(4) $F$ は直線 $BD$ 上だから、ある実数 $t$ を使って $$\displaystyle \overrightarrow{AF}=(1-t)\mathbf b+\frac{5t}{12}\mathbf c.$$ また $AF\perp BC$ で、$BC$ の方向ベクトルは $\mathbf c-\mathbf b$。従って $$\mathbf b\cdot(\mathbf c-\mathbf b)=-5,\qquad \mathbf c\cdot(\mathbf c-\mathbf b)=44$$ を使うと $$\displaystyle -5(1-t)+\frac{55t}{3}=0,\qquad t=\frac3{14}.$$ これを代入して $\displaystyle \overrightarrow{AF}=\frac{11}{14}\mathbf b+\frac5{56}\mathbf c$。

(5) $I$ は直線 $BD$ と $CE$ の交点でもある。$I$ が直線 $BD$ 上にあることから $\overrightarrow{AI}$ を $$\displaystyle (1-t)\mathbf b+\frac{5t}{12}\mathbf c$$ と表し、$I$ が直線 $CE$ 上にあることから同じ $\overrightarrow{AI}$ を $$\displaystyle \frac{8u}{15}\mathbf b+(1-u)\mathbf c$$ と表すと、係数比較で $t=3/5,u=3/4$。従って $$\displaystyle \overrightarrow{AI}=\frac25\mathbf b+\frac14\mathbf c =\frac1{20}(8\mathbf b+5\mathbf c).$$ また $$\displaystyle \overrightarrow{CF}=\overrightarrow{AF}-\mathbf c =\frac{44\mathbf b-51\mathbf c}{56}.$$ PはAI上かつCF上なので、ある実数 $v,w$ について $$\displaystyle \overrightarrow{AP}=v(8\mathbf b+5\mathbf c) =\mathbf c+\frac{w}{56}(44\mathbf b-51\mathbf c).$$ 係数比較すると $8v=11w/14$、$5v=1-51w/56$。これを解いて $v=11/157,w=112/157$。よって $$\displaystyle \overrightarrow{AP}=\frac{88}{157}\mathbf b+\frac{55}{157}\mathbf c.$$