5山形大学 2025年 数学 第5問解答・解説

$(1)$ 回転は $w=z+\{\cos(\pi/3)+i\sin(\pi/3)\}(z_1-z)$ で表せる。 $z_1-z=2\sqrt3+8i$ であり、 $$\displaystyle \left(\frac12+\frac{\sqrt3}{2}i\right)(2\sqrt3+8i) =-3\sqrt3+7i,$$ 従って $w_1=2i$。$0,2i$ と正三角形をなす点は $\sqrt3+i,-\sqrt3+i$ で、$\operatorname{Re}w_2<0$ より $w_2=-\sqrt3+i$。逆回転から $$z_2=z+\{\cos(-\pi/3)+i\sin(-\pi/3)\}(w_2-z) =4\sqrt3+4i.$$ $(2)(i)$ 部分積分により $$\displaystyle \int te^t\,dt=(t-1)e^t+C.$$ $(ii)$ 積分区間端点で微分すると $$f'(x)=|x|e^x-|x-1|e^{x-1},\qquad g(x)=e^{1-x}f'(x)=e|x|-|x-1|.$$ 絶対値を場合分けして $$g(x)= \begin{cases} (1-e)x-1&(x\le0),\\ (e+1)x-1&(0\le x\le1),\\ (e-1)x+1&(x\ge1). \end{cases}$$ 従って零点は $x=1/(1-e)$ と $x=1/(e+1)$。 $(iii)$ $e^{x-1}>0$ だから $f'$ の符号は $g$ と同じ。 $a=1/(1-e)<0$ で $g$ は正から負に変わるため、ここで極大となる。 $a-1\le t\le a$ では $t<0$ なので $$\displaystyle f(a)=\int_{a-1}^a-te^t\,dt =(1-a)e^a-(2-a)e^{a-1}.$$ 従って $$e^{1-a}f(a)=e(1-a)-(2-a)=e-2+(1-e)a=e-1.$$