3神戸大学 2025年 数学 第3問解答・解説

$x=\sin\theta$ は $-1\le x\le1$ の範囲の全ての値を取り、各 $-1<x<1$ では $\cos\theta=\pm\sqrt{1-x^2}$ の両方が現れる。したがって曲線は次の二枝からなる。 $$y_+(x)=|x|+\sqrt{1-x^2},\qquad y_-(x)=|x|-\sqrt{1-x^2}\qquad(-1\leq x\leq1).$$ どちらも $|x|$ だけで決まるので $y$ 軸対称である。$t=|x|$ とおくと、上枝の高さは $g(t)=t+\sqrt{1-t^2}$。$0<t<1$ で $$\displaystyle g'(t)=1-\frac{t}{\sqrt{1-t^2}}.$$ よって $g'(t)>0$ は $0<t<1/\sqrt2$、$g'(t)<0$ は $1/\sqrt2<t<1$。したがって上枝の最大値は $t=1/\sqrt2$ で取り、 $$\displaystyle g\!\left(\frac1{\sqrt2}\right)=\sqrt2,$$ 極大点は $(\pm1/\sqrt2,\sqrt2)$ である。下枝 $h(t)=t-\sqrt{1-t^2}$ は $$\displaystyle h'(t)=1+\frac{t}{\sqrt{1-t^2}}>0\qquad(0<t<1)$$ より増加し、$h(0)=-1$, $h(1)=1$。また上枝は $g(0)=1$, $g(1)=1$ である。したがって二枝は $(\pm1,1)$ でつながり、上枝は $(0,1)$、下枝は $(0,-1)$ を通る。これらを示した概形図を添付する。

(2) 二枝の上下の差は $2\sqrt{1-x^2}$ なので、囲まれた面積は $$\displaystyle S=\int_{-1}^{1}2\sqrt{1-x^2}\,dx.$$ $x=\sin u$ と置くと $\displaystyle -\frac{\pi}{2}\leq u\leq\frac{\pi}{2}$ であり、 $$\displaystyle S=2\int_{-\pi/2}^{\pi/2}\cos^2u\,du =2\int_{-\pi/2}^{\pi/2}\frac{1+\cos2u}{2}\,du =\pi.$$