4神戸大学 2025年 数学 第4問解答・解説

(1) 直線 $AB$ 上の点を $X=(-4+r,-1+r,-r)$ とおく。このとき $$z_X+2x_X-y_X+1=-6.$$ 一方、$P=(s,t,-2s+t-1)$ では $$z_P+2x_P-y_P+1=0.$$ よって $P$ は直線 $AB$ 上にない。$A\ne B$ なので、$A,B,P$ は一直線上にない。

(2) $\overrightarrow{AB}=(1,1,-1)$ とし、垂足を $H=A+u\overrightarrow{AB}$ とおく。直交条件 $(P-H)\cdot\overrightarrow{AB}=0$ より $$(s+4-u)+(t+1-u)-(-2s+t-1+u)=3(s+2-u)=0,$$ したがって $u=s+2$。ゆえに $$H=(-4+s+2,\,-1+s+2,\,-s-2)=(s-2,s+1,-s-2).$$

(3) $P-H=(2,t-s-1,t-s+1)$ なので $$PH^2=4+(t-s-1)^2+(t-s+1)^2=6+2(t-s)^2\ge6.$$ 等号は $t=s$ のときに成り立つ。また $$|AB|=\sqrt{1^2+1^2+(-1)^2}=\sqrt3.$$ 従って $$\displaystyle [ABP]=\frac12|AB|\cdot PH =\frac{\sqrt3}{2}\sqrt{6+2(t-s)^2} \ge\frac{3\sqrt2}{2},$$ 等号は $t=s$ で成立する。

数理の主要結論・計算を確認した。医学部範囲内であり、旧解説を採用候補として保存。 表示副本では裸の数式コマンドを数式モードに入れる整形のみを行い、数学内容は変えていない。