5神戸大学 2025年 数学 第5問解答・解説

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(1) $q(x)=f(x)/x$ とおく。$1<x<t$ では $$\displaystyle q'(x)=\frac{xf'(x)-f(x)}{x^2}=0.$$ $q$ は $1\le x\le t$ で連続し、$1<x<t$ で微分可能である。$1\le x_1\le t$ と $1\le x_2\le t$ を満たす任意の2点に平均値の定理を適用すると $q(x_1)=q(x_2)$ となるので、$q$ は閉区間全体で定数である。

(2) $t=1$ を条件に代入すると $$\sqrt{1+f(1)^2}=g(1)=h(1)+2=2.$$ $f(1)\geq0$ だから $f(1)=\sqrt3$。

$t>1$ では曲線の長さの公式と $f'$ の連続性から $$\displaystyle h(t)=\int_1^t\sqrt{1+f'(x)^2}\,dx, \qquad h'(t)=\sqrt{1+f'(t)^2}.$$ また $g(t)=\sqrt{t^2+f(t)^2}$ である。恒等式 $g(t)=h(t)+2$ を微分すると $$\displaystyle \frac{t+f(t)f'(t)}{\sqrt{t^2+f(t)^2}}=\sqrt{1+f'(t)^2}.$$ 両辺を二乗して展開し、共通項を消去すると $$2tf(t)f'(t)=t^2f'(t)^2+f(t)^2, \qquad (tf'(t)-f(t))^2=0.$$ したがって $f(t)-tf'(t)=0$ がすべての $t>1$ で成り立つ。(1)を任意の $T>1$ に適用すると、$f(x)/x$ は $1\le x\le T$ で一定であり、その値は $f(1)=\sqrt3$。よって $$f(t)=\sqrt3\,t\quad(t\geq1).$$ この式では $g(t)=2t$、$h(t)=2(t-1)$ となり、条件 $g(t)=h(t)+2$ も確かに満たす。

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平均値の定理、商の微分、曲線の長さの公式、微分積分の基本定理を使う高校数学IIIの範囲で解ける。端点 $t=1$ と微分可能な区間 $t>1$ を分け、定数性を閉区間へ延長する条件も満たす。

**答**

(1) $f(x)/x$ は $1\le x\le t$ で定数。

(2) $f(1)=\sqrt3$、$f(t)=\sqrt3t\ (t\geq1)$。