3東海大学 2014年 数学 第3問解答・解説

(1) 図形 $F$ の面積は $4+x^2$ であり、その半分は $(4+x^2)/2$ である。高さ $y$ における横幅は、$\displaystyle 0\leq y\leq\min(x,2)$ では $x+2$ である。$x\leq2$ のとき、$x$ より上の横幅は $2$ であり、$x\geq2$ のとき、$2$ より上の横幅は $x$ である。

まず $0<x\leq2$ とする。$h\leq x$ なら、直線より下の面積は $(x+2)h$ であり、 $$\displaystyle h=\frac{x^2+4}{2(x+2)}.$$ この値が $x$ 以下となる条件は $x^2+4x-4\geq0$、すなわち $x\geq2\sqrt2-2$ である。一方、$h\geq x$ なら直線より下の面積は $x^2+2h$ なので $$\displaystyle h=1-\frac{x^2}{4},$$ この値が $x$ 以上となるのは $0<x\leq2\sqrt2-2$ である。

次に $x\geq2$ とする。$h\leq2$ なら直線より下の面積は $(x+2)h$ なので、同じく $$\displaystyle h=\frac{x^2+4}{2(x+2)}.$$ この値が $2$ 以下となる条件は $x\leq2+2\sqrt2$ である。$h\geq2$ なら直線より下の面積は $4+xh$ であり、 $$\displaystyle h=\frac{x^2-4}{2x}=\frac{x}{2}-\frac2x,$$ この値が $2$ 以上となるのは $x\geq2+2\sqrt2$ である。したがって $$\displaystyle h(x)= \begin{cases} 1-\dfrac{x^2}{4},&0<x\leq2\sqrt2-2,\\[4pt] \dfrac{x^2+4}{2(x+2)},&2\sqrt2-2\leq x\leq2+2\sqrt2,\\[4pt] \dfrac{x^2-4}{2x},&x\geq2+2\sqrt2. \end{cases}$$ $x=3$ は中央の範囲にあるから $$\displaystyle h(3)=\frac{3^2+4}{2(3+2)}=\frac{13}{10}.$$ $x=8$ は最後の範囲にあるから $$\displaystyle h(8)=\frac{8}{2}-\frac{2}{8}=\frac{15}{4}.$$ また $h=3$ は最初の二つの範囲では起こらない。最後の式から $$\displaystyle \frac{x}{2}-\frac2x=3 \quad\text{すなわち}\quad x^2-6x-4=0.$$ $x>0$ より正の解は $x=3+\sqrt{13}$ であり、$3+\sqrt{13}>6>2+2\sqrt2$ なので最後の範囲に属する。

不等式 $h\leq7/8$ を各範囲で解く。最初の範囲では $$\displaystyle 1-\frac{x^2}{4}\leq\frac78 \quad\text{すなわち}\quad x\geq\frac{\sqrt2}{2}.$$ 中央の範囲では $$\displaystyle \frac{x^2+4}{2(x+2)}\leq\frac78 \quad\text{すなわち}\quad 4x^2-7x+2\leq0.$$ この二次式の根は $(7\pm\sqrt{17})/8$ である。下側の根は $1/2$ より小さく、$1/2<2\sqrt2-2$ である。また、上側の根は $1$ より大きく $2$ より小さいので、中央の範囲に入るのは上側の根までである。最後の範囲では $h\geq2$ なので条件を満たさない。以上より $$\displaystyle \frac{\sqrt2}{2}\leq x\leq\frac{7+\sqrt{17}}8.$$

(2)(i) $x=3$ の近くでは $h=(x^2+4)/(2x+4)$ である。商の微分より $$\displaystyle h'(x)=\frac{2x(2x+4)-2(x^2+4)}{(2x+4)^2} =\frac{x^2+4x-4}{2(x+2)^2}, \qquad h'(3)=\frac{17}{50}.$$

(2)(ii) $6\leq x\leq8$ では $6>2+2\sqrt2$ より $h=x/2-2/x$ であり、これは正である。回転体の体積は $$\displaystyle \begin{aligned} V&=\pi\int_6^8h(x)^2\,dx =\pi\int_6^8\left(\frac{x^2}{4}-2+\frac4{x^2}\right)\,dx\\ &=\pi\left[\frac{x^3}{12}-2x-\frac4x\right]_6^8 =\frac{125\pi}{6}. \end{aligned}$$