1京都府立医科大学 2020年 数学 第1問解答・解説

(1) 曲線を $\displaystyle y=f(x)=2-\dfrac{x^{2}}{2}$ とおくと、$f'(x)=-x$ である。したがって $P$ における接線の傾きは $-t$、法線の傾きは $1/t$ であるから、$$\displaystyle y-\left(2-\frac{t^{2}}{2}\right)=\frac{1}{t}(x-t),\qquad l:\ y=\frac{x}{t}+1-\frac{t^{2}}{2}.$$　 　 (2) $\displaystyle g(x)=\dfrac{x}{t}+1-\dfrac{t^{2}}{2}$ とする。$C$ と $l$ の交点の $x$ 座標は $$\displaystyle f(x)-g(x)=-\frac12(x-t)\left(x+\frac{t^{2}+2}{t}\right)=0$$ より $\displaystyle a=-\dfrac{t^{2}+2}{t}$ と $t$ である。$a<t$ であり、この区間では $\displaystyle f(x)-g(x)=\dfrac12(x-a)(t-x)\geq0$ だから、$$\displaystyle S=\int_a^t\frac12(x-a)(t-x)\,dx=\frac{(t-a)^3}{12}=\frac23\left(t+\frac1t\right)^3.$$ $t>0$ に対して $\displaystyle t+\dfrac1t=2+\dfrac{(t-1)^2}{t}\geq2$ で、等号は $t=1$ のときに成り立つ。よって最小値は $\displaystyle S_{\min}=\dfrac23\cdot2^3=\dfrac{16}{3}$ である。　 　 (3) $l$ が原点を通る条件は $\displaystyle 1-\dfrac{t^2}{2}=0$ であり、$t>0$ より $t=\sqrt2$、このとき $\displaystyle l:y=\dfrac{x}{\sqrt2}$ である。交点の $x$ 座標は $-2\sqrt2,\sqrt2$ である。$\displaystyle f(x)=2-\dfrac{x^2}{2}$ とおくと、$f(-2)=0$、$f(-\sqrt2)=-l(-\sqrt2)=1$、$l(0)=0$ である。したがって、回転断面は $-2\sqrt2\le x\le-2$ では外半径 $-l$・内半径 $-f$ の円環、$-2\le x\le-\sqrt2$ では半径 $-l$ の円板、$-\sqrt2\le x\le0$ では半径 $f$ の円板、$0\le x\le\sqrt2$ では外半径 $f$・内半径 $l$ の円環となる。ゆえに $$\displaystyle \begin{aligned} \frac{V}{\pi}={}&\int_{-2\sqrt2}^{-2}\left\{\frac{x^2}{2}-\left(\frac{x^2}{2}-2\right)^2\right\}dx+\int_{-2}^{-\sqrt2}\frac{x^2}{2}\,dx\\ &+\int_{-\sqrt2}^{0}\left(2-\frac{x^2}{2}\right)^2dx+\int_0^{\sqrt2}\left\{\left(2-\frac{x^2}{2}\right)^2-\frac{x^2}{2}\right\}dx\\ ={}&\frac{44-16\sqrt2}{15}+\frac{4-\sqrt2}{3}+\frac{43\sqrt2}{15}+\frac{38\sqrt2}{15}=\frac{64}{15}+4\sqrt2. \end{aligned}$$ よって $$\displaystyle V=\pi\left(\frac{64}{15}+4\sqrt2\right).$$