4京都府立医科大学 2020年 数学 第4問解答・解説

(1) $\displaystyle u=\dfrac{k-1}{n},\ v=\dfrac{k}{n}$ とおく。$u\le x\le v$ であり、$f'$ は単調に減少するから、$x\le t\le v$ に対して $$f'(v)\le f'(t)\le f'(u)$$ である。$f'$ は連続なので、微積分の基本関係より $$\displaystyle f(v)-f(x)=\int_x^v f'(t)\,dt$$ となる。これを積分すると $$f'(v)(v-x)\le f(v)-f(x)\le f'(u)(v-x).$$ したがって $$f(v)+f'(u)(x-v)\le f(x)\le f(v)+f'(v)(x-v),$$ すなわち求める (a), (b) が成り立つ。

(2) $\displaystyle u_k=\dfrac{k-1}{n},\ v_k=\dfrac{k}{n}$ とおく。(1) を $u_k\le x\le v_k$ の範囲で積分し、$\displaystyle\int_{u_k}^{v_k}(x-v_k)\,dx=-\dfrac{1}{2n^2}$ を用いると $$\displaystyle -\frac{f'(u_k)}{2n^2}\le \int_{u_k}^{v_k}\bigl(f(x)-f(v_k)\bigr)\,dx\le -\frac{f'(v_k)}{2n^2}.$$ これを $k=1,\ldots,n$ について加える。区間の幅はすべて $1/n$ なので、中央の和は $a_n$ であり、両辺に $n$ を掛けて $$\displaystyle -\frac12 L_n\le na_n\le -\frac12 R_n, \quad L_n=\frac1n\sum\limits _{k=1}^n f'(u_k),\quad R_n=\frac1n\sum\limits _{k=1}^n f'(v_k)$$ を得る。

$f'$ は単調減少するので、各区間で $f'(v_k)\le f'(x)\le f'(u_k)$ である。これを積分して加えると $$\displaystyle R_n\le \int_0^1 f'(x)\,dx\le L_n.$$ また、和の差では中間の項が相殺され $$\displaystyle L_n-R_n=\frac1n\sum\limits _{k=1}^n\bigl(f'(u_k)-f'(v_k)\bigr)=\frac{f'(0)-f'(1)}{n}\longrightarrow 0.$$ よって $L_n$ と $R_n$ はともに $\displaystyle\int_0^1f'(x)\,dx$ に収束する。微積分の基本関係と $f(0)=0$ から $$\displaystyle \int_0^1f'(x)\,dx=f(1)-f(0)=f(1)$$ である。したがって、$\displaystyle -\dfrac12L_n$ と $\displaystyle -\dfrac12R_n$ はともに $\displaystyle -\dfrac12f(1)$ に収束する。上のはさみうちより $$\displaystyle \boxed{\displaystyle\lim\limits _{n\to\infty}na_n=-\frac12f(1)}.$$