2東海大学 2014年 数学 第2問解答・解説

(1) $N\geq4$ なので、2回または3回でゲームが終了するのは、直前まで同じ目が続き、その次に異なる目が出た場合である。したがって $$\displaystyle P(\text{2回で終了})=\frac56,\qquad P(\text{3回で終了})=\frac16\cdot\frac56=\frac5{36}.$$

(2) 得点が $N$ 以上になるには、少なくとも最初の $N-1$ 回がすべて同じ目であればよい。最初の目は何でもよく、その後の $N-2$ 回がそれに一致する確率だから $$\displaystyle P(\text{得点}\geq N)=\left(\frac16\right)^{N-2}.$$

(3) $N=3$ のとき、得点が $2,3,4$ となる確率はそれぞれ $$\displaystyle \frac56,\qquad \frac16\cdot\frac56=\frac5{36},\qquad \left(\frac16\right)^2=\frac1{36}.$$ よって期待値は $$\displaystyle \frac56\cdot2+\frac5{36}\cdot3+\frac1{36}\cdot4 =\frac{79}{36}.$$

(4) $2\leq n\leq N$ に対し、得点が $n$ となるのは最初の $n-1$ 回が同じ目で、$n$ 回目に異なる目が出るときである。したがって $$\displaystyle P(\text{得点}=n)=\left(\frac16\right)^{n-2}\frac56 =30\left(\frac16\right)^n.$$ また、得点が $N+1$ となる確率は $(1/6)^{N-1}$ である。得点を $S$ とすると、有限和の並べ替えから $$\displaystyle a_N=E(S)=\sum\limits _{k=1}^{N+1}P(S\geq k).$$ $S\geq1,S\geq2$ は確率 $1$ であり、$3\leq k\leq N+1$ では最初の $k-1$ 回が同じ目であることが必要十分だから、 $$\displaystyle a_N=2+\sum\limits _{j=1}^{N-1}\left(\frac16\right)^j =2+\frac16\frac{1-(1/6)^{N-1}}{1-1/6} =\frac{11}{5}-\frac{1}{5\cdot6^{N-1}}.$$ したがって $$\displaystyle \lim\limits _{N\to\infty}a_N=\frac{11}{5}.$$