6東京大学 2001年 数学 第6問解答・解説

各時点で$d=|a-b|$ とおく。$d=0$ なら次の試行後はどちらの面でも$d=1$ となる。$d=1$ なら、一方の面では両点が同時に1進んで$d=1$ のまま、他方の面では小さい方だけが1進んで$d=0$ となる。したがって常に$d=0$ または$d=1$ である。

(1) 時点$n$の$2^n$通りのうち、$a=b$であるものが$X_n$通りだから、$d=1$であるものは$2^n-X_n$通りである。各々から次の試行で等しくなる出方はちょうど1通りであり、$d=0$からは次の試行で等しくならない。よって $$X_{n+1}=2^n-X_n.$$

(2) 空試行の場合も含め$X_0=1$とする。漸化式の特解を$2^n/3$、同次式の解を$C(-1)^n$とすると、$X_0=1$から$C=2/3$である。したがって $$\displaystyle X_n=\frac{2^n+2(-1)^n}{3}.$$

(3) 全出方を等確率とみなし、$S=a+b$ とおく。時点$k$で$a=b$なら次の試行で$S$は必ず1増える。異なるなら、次の試行で$S$は1または2増え、その平均増分は$3/2$である。等しい出方の確率は$X_k/2^k$なので $$\displaystyle \operatorname{E}[S_n] =\sum\limits _{k=0}^{n-1}\left(\frac{X_k}{2^k}+\frac32\left(1-\frac{X_k}{2^k}\right)\right) =\frac{3n}{2}-\frac12\sum\limits _{k=0}^{n-1}\frac{X_k}{2^k}.$$ また、すべての表裏を入れ替えると$a,b$が入れ替わるため、$a$と$b$の平均は等しい。ゆえに$\operatorname{E}[a]=\operatorname{E}[S_n]/2$。 (2)より $$\displaystyle \sum\limits _{k=0}^{n-1}\frac{X_k}{2^k} =\sum\limits _{k=0}^{n-1}\left(\frac13+\frac23\left(-\frac12\right)^k\right) =\frac n3+\frac49\left(1-\left(-\frac12\right)^n\right).$$ これを代入して $$\displaystyle \operatorname{E}[a]=\frac{2n}{3}-\frac19+\frac{(-1)^n}{9\cdot2^n}.$$