3東京大学 2001年 数学 第3問解答・解説

直線 $OP$ は $y=x$、直線 $OQ$ は $\displaystyle y=\frac{x}{t^2}$、双曲線は $\displaystyle y=\frac1x$ である。$OP=\sqrt2$、点 $Q$ から直線 $OP$ までの距離は $\displaystyle \frac{t-\frac1t}{\sqrt2}$ だから、 $$\displaystyle a(t)=\frac12\cdot\sqrt2\cdot\frac{t-\frac1t}{\sqrt2} =\frac{t-\frac1t}{2}.$$

$0\le x\le1$ では領域の上側が $y=x$、下側が $\displaystyle y=\frac{x}{t^2}$ であり、$1\le x\le t$ では上側が $\displaystyle y=\frac1x$、下側が $\displaystyle y=\frac{x}{t^2}$ である。よって $$\displaystyle \begin{aligned} b(t) &=\int_0^1\left(x-\frac{x}{t^2}\right)\,dx +\int_1^t\left(\frac1x-\frac{x}{t^2}\right)\,dx\\ &=\frac{t^2-1}{2t^2}+\ln t-\frac{t^2-1}{2t^2} =\ln t. \end{aligned}$$ したがって $$\displaystyle c(t)=\frac{b(t)}{a(t)} =\frac{2\ln t}{t-\frac1t} =\frac{2t\ln t}{t^2-1}.$$

これを微分すると $$\displaystyle c'(t)=\frac{2\left\{(t^2-1)-(t^2+1)\ln t\right\}}{(t^2-1)^2}.$$ $\displaystyle h(t)=\ln t-\frac{t^2-1}{t^2+1}$ とおくと、$h(1)=0$ であり、 $$\displaystyle h'(t)=\frac1t-\frac{4t}{(t^2+1)^2} =\frac{(t^2-1)^2}{t(t^2+1)^2}>0\qquad(t>1).$$ したがって $h(t)>0$、すなわち $(t^2+1)\ln t>t^2-1$ である。よって上の $c'(t)$ の分子は負、分母は正なので $c'(t)<0$ $(t>1)$。ゆえに $c(t)$ は $t>1$ においてつねに減少する。