5東京大学 2001年 数学 第5問解答・解説

最初に $x$ リットル入っているビーカーを $A$ とし、Aがまだ選ばれていない間は水量が $x$ のままである。A以外の水量の総和は移し替えの間ずっと $$T=1-x$$ で一定である。

(1) $x<1/3$ とする。Aが操作の途中で最初に選ばれたとき、Aが(a)の移す側なら空になって取り除かれる。Aが(b)の受け取る側なら、移す側のビーカーには正の水量があるためAの水量は $x$ より大きくなる。その後Aが移す側になれば取り除かれる。一方、最後まで残るならAの水量は減らないので、最終水量は $x$ より大きい。

Aが3個残る時点まで一度も選ばれない場合を考える。A以外の2個の水量を $u,v$ とすると $u+v=1-x>2x$。もし次の操作でもAを選ばないなら、選ばれるのはこの2個でなければならず、従って $u\le x,v\le x$ である。すると $u+v\le2x$ となり矛盾する。したがって3個の時点でAは必ず選ばれ、前述のいずれかの場合が起こる。なお、途中ですでにAが選ばれている場合も同じく結論が成り立つ。

(2) $x>2/5$ とする。このとき $$\displaystyle \frac{2T}{3}=\frac{2(1-x)}3<x.$$ A以外のビーカーが $k\ge3$ 個あり、すべての水量が $x$ 未満で、Aが選ばれず水量 $x$ のまま残っていると仮定する。A以外の水量を小さい順に $y_1\le y_2\le\cdots\le y_k$ と並べる。$i\ge3$ では $$\displaystyle y_i\ge y_2\ge\frac{y_1+y_2}{2}$$ なので $$\displaystyle T=\sum\limits _{i=1}^k y_i\ge y_1+y_2+(k-2)\frac{y_1+y_2}{2} =\frac{k}{2}(y_1+y_2).$$ 従って $$\displaystyle y_1+y_2\le\frac{2T}{k}\le\frac{2T}{3}<x.$$ Aは他の各ビーカーより水量が多いので、次に選ばれる2個はA以外の最小の2個である。それらを合わせても水量は $x$ 未満だから、移し替え後も全てのA以外のビーカーは $x$ 未満であり、Aは水量 $x$ のまま残る。この性質をA以外の個数が2個になるまで繰り返す。最後に残った他の2個も各々 $x$ 未満なので、その2個が選ばれて水が移される。操作はここで終了し、Aは最後まで水量 $x$ のまま残る。