3熊本大学 2020年 数学 第3問解答・解説

(問1) 自然数 $x$ を5で割った余りを $r$ とすると、$r=0,1,2,3,4$ のいずれかである。各場合の平方の余りは $$r^2\equiv 0,1,4,4,1\pmod{5}$$ となるから、$x^2$ を5で割った余りは $0,1,4$ のいずれかである。

(問2) 正の自然数解 $(x,y,z)$ があると仮定し、その中で $z$ が最小のものを選ぶ。問1より平方の5による余りは $0,1,4$ である。一方、$2z^2$ の余りは $0,2,3$ のいずれかだから、 $$x^2\equiv 2z^2\pmod{5}$$ が成り立つには両辺の余りがともに0でなければならない。よって $5\mid x$ かつ $5\mid z$。$x=5a,\ z=5c$ とおくと、元の式を5で割って $$5a^2+y^2=10c^2$$ を得る。この式を5で割った余りで考えると $y^2\equiv0\pmod{5}$ なので、$5\mid y$。$y=5b$ とすれば、元の式を25で割って $$a^2+5b^2=2c^2$$ となる。ここで $a,b,c$ は正の自然数であり、$c=z/5<z$。これは $z$ の最小性に矛盾する。したがって、そのような自然数解は存在しない。

平方の5による剰余を列挙する。問2ではx²と2z²の剰余が一致できるのは0だけであるためx,zは5の倍数。式を使ってyも5の倍数とし、三変数を5で割った正の自然数解から最小zに矛盾を導く。