2熊本大学 2020年 数学 第2問解答・解説

面積公式（問2）

複素数 $u$ と $v$ を原点からの位置ベクトルとし，その長さを $r,s$，それぞれの偏角を $\theta,\phi$ とする。三角形の面積は底辺と高さから $$\displaystyle \frac12rs\lvert\sin(\phi-\theta)\rvert$$ である。一方，$u=r(\cos\theta+i\sin\theta)$，$v=s(\cos\phi+i\sin\phi)$ より $$\overline{u}v=rs\bigl(\cos(\phi-\theta)+i\sin(\phi-\theta)\bigr),\qquad \lvert\operatorname{Im}(\overline{u}v)\rvert=rs\lvert\sin(\phi-\theta)\rvert.$$ したがって，原点と複素数 $u,v$ に対応する2点でできる三角形の面積は $$\displaystyle \frac12\lvert\operatorname{Im}(\overline{u}v)\rvert$$ である。これを $u=\alpha, v=\beta$ に適用すれば，$\displaystyle S_1=\frac12\lvert\operatorname{Im}(\overline{\alpha}\beta)\rvert$ となり，問2が示された。

問1

$C$ の複素数は $c=\lvert\alpha\rvert^2$ であり，これは実数である。また，原本の点 $D$ の複素数は $d=\overline{\alpha}\beta$ である。上の面積公式を $O,C,D$ に適用すると $$\displaystyle S_2=\frac12\left\lvert\operatorname{Im}(\overline{c}d)\right\rvert =\frac12\left\lvert\operatorname{Im}\bigl(\lvert\alpha\rvert^2\overline{\alpha}\beta\bigr)\right\rvert =\lvert\alpha\rvert^2 S_1.$$ $O,A,B$ は三角形をなすので $S_1>0$ であり， $$\displaystyle \frac{S_2}{S_1}=\lvert\alpha\rvert^2.$$

問3

$z=a+bi$ とすると $$\displaystyle \frac1z=\frac{a-bi}{a^2+b^2},\qquad \overline{z}\,\frac1z=\frac{(a-bi)^2}{a^2+b^2}.$$ したがって $$\displaystyle \operatorname{Im}\left(\overline{z}\,\frac1z\right)=-\frac{2ab}{a^2+b^2}.$$ 面積公式から，三角形 $OPQ$ の面積は $$\displaystyle S=\frac12\left\lvert\operatorname{Im}\left(\overline{z}\,\frac1z\right)\right\rvert =\frac{ab}{a^2+b^2}.$$ ここで $\displaystyle t=\frac ab$ とおくと，条件より $\displaystyle \frac13\leq t\leq2$ で， $$\displaystyle S=\frac{t}{1+t^2}.$$ 最小値については $$\displaystyle \frac{t}{1+t^2}-\frac3{10} =\frac{(3t-1)(3-t)}{10(1+t^2)}\geq0$$ である。実際，$\displaystyle \frac13\leq t\leq2$ より両因子 $3t-1,3-t$ はともに非負である。等号は $\displaystyle t=\frac13$，すなわち $(a,b)=(1,3)$ のときに成り立つ。

また，最大値については $$\displaystyle \frac12-\frac{t}{1+t^2} =\frac{(t-1)^2}{2(1+t^2)}\geq0.$$ 等号は $t=1$ のときに成り立ち，例えば $(a,b)=(1,1)$ は条件を満たす。よって最大値は $\displaystyle \frac12$，最小値は $\displaystyle \frac3{10}$ である。