4神戸大学 2018年 数学 第4問解答・解説

(1) 実係数多項式の非実根は共役であるから、$\beta=\overline{\alpha}$ である。根と係数の関係より、 $$1\cdot\alpha\beta=3$$ であり、したがって $$|\alpha|^2=\alpha\overline{\alpha}=3,\qquad |\alpha|=\sqrt{3}.$$ また、$\alpha=\sqrt{3}(\cos\theta+i\sin\theta)$ とおくと、条件から $\sin\theta>0$、$\cos\theta>1/\sqrt{3}$ なので、 $$\displaystyle 0<\theta<\arccos\frac{1}{\sqrt{3}}.$$

(2) 複素数平面上の座標は $$A=(\sqrt{3}\cos\theta,\sqrt{3}\sin\theta),\quad B=(\sqrt{3}\cos\theta,-\sqrt{3}\sin\theta),\quad C=(1,0).$$ よって $AB=2\sqrt{3}\sin\theta$。直線 $AB$ は $x=\sqrt{3}\cos\theta$ であり、$\sqrt{3}\cos\theta>1$ だから、点 $C$ から直線 $AB$ までの距離は $\sqrt{3}\cos\theta-1$ である。したがって $$\displaystyle S=\frac12\cdot 2\sqrt{3}\sin\theta\,(\sqrt{3}\cos\theta-1)=\sqrt{3}\sin\theta(\sqrt{3}\cos\theta-1).$$

(3) 許される $\theta$ の範囲で微分すると、 $$\displaystyle S'=3(\cos^2\theta-\sin^2\theta)-\sqrt{3}\cos\theta=6\left(\cos\theta-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)\left(\cos\theta+\frac{1}{\sqrt{3}}\right).$$ この範囲では $\cos\theta+1/\sqrt{3}>0$ である。また $1/\sqrt{3}<\sqrt{3}/2$ だから、許される角度の上端 $\arccos(1/\sqrt{3})$ は $\pi/6$ より大きく、$\cos\theta$ は $\theta$ とともに減少する。したがって、$0<\theta<\pi/6$ では $S'>0$、$\pi/6<\theta<\arccos(1/\sqrt{3})$ では $S'<0$ となる。よって最大となるのは $\theta=\pi/6$ で、そのとき $$\displaystyle S=\sqrt{3}\cdot\frac12\left(\frac32-1\right)=\frac{\sqrt{3}}{4}.$$ さらに、 $$\displaystyle \alpha+\beta=2\sqrt{3}\cos\frac{\pi}{6}=3,\qquad \alpha\beta=3,$$ より、 $$f(x)=(x-1)(x-\alpha)(x-\beta)=(x-1)(x^2-3x+3)=x^3-4x^2+6x-3.$$