神戸大学 2018年数学第1問解答・解説

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1問題

神戸大学2018年度第1問

$t$ を $0<t<1$ を満たす実数とする。 $OABC$ を1辺の長さが1の正四面体とする。辺 $OA$ を $1-t:t$ に内分する点を $P$ ，辺 $OB$ を $t:1-t$ に内分する点を $Q$ ，辺 $BC$ の中点を $R$ とする。また $\vec{a}=\overrightarrow{\mathrm{OA}},\qquad \vec{b}=\overrightarrow{\mathrm{OB}},\qquad \vec{c}=\overrightarrow{\mathrm{OC}}$ とする。以下の問に答えよ。（配点30点）　 (1) $\overrightarrow{QP}$ と $\overrightarrow{QR}$ を $t,\vec{a},\vec{b},\vec{c}$ を用いて表せ。　 (2) $\displaystyle \angle PQR=\frac{\pi}{2}$ のとき， $t$ の値を求めよ。　 (3) $t$ が (2) で求めた値をとるとき， $\triangle PQR$ の面積を求めよ。

まずは自分で解いてみましょう。詰まったら「考え方」、解けたら「答え」で確かめられます。

2解答

解答を見る答えはこの解答の中にあります

数学確認正四面体より $|\vec a|=|\vec b|=|\vec c|=1$ 、異なる頂点方向の内積は $1/2$ 。原文の内分比を使うと $\displaystyle \overrightarrow{OP}=(1-t)\vec a,\quad \overrightarrow{OQ}=t\vec b,\quad \overrightarrow{OR}=\tfrac12(\vec b+\vec c),$ したがって A040 の $\overrightarrow{QP},\overrightarrow{QR}$ の表示は合っている。さらに $\displaystyle \overrightarrow{QP}\cdot\overrightarrow{QR} =\tfrac12(1-t)(\tfrac12-t)+\tfrac14(1-t)-t(\tfrac12-t)-\tfrac14t =\tfrac{(2t-1)(3t-2)}4.$ $0<t<1$ での解は $\displaystyle t=\tfrac12,\tfrac23$ 。直角三角形の面積を確認すると、 $\displaystyle t=\tfrac12$ では両直角辺が $1/2,1/2$ で面積 $1/8$ 、 $\displaystyle t=\tfrac23$ では辺の二乗が $1/3,7/36$ で面積 $\sqrt{21}/36$ 。A040 の全回答と一致する。

この問題で使う考え方

位置ベクトル
ベクトルの和・差・実数倍
ベクトルの内積
空間座標と空間ベクトル
ベクトルによる図形の考察

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