3筑波大学 2019年 数学 第3問解答・解説

$$\displaystyle \text{(1) }\overrightarrow{OF}=\vec a+\vec c,\ \overrightarrow{OG}=\vec b+\vec c,\ \overrightarrow{OD}=s\vec a,\ \overrightarrow{OE}=t\vec b.\text{ 交点 }P\text{ を }EF\text{ 上で }P=E+u(F-E)\text{、}DG\text{ 上で }P=D+v(G-D)\text{ とおくと}\ \overrightarrow{OP}=u\vec a+t(1-u)\vec b+u\vec c=s(1-v)\vec a+v\vec b+v\vec c.\text{ 四面体は非退化なので }\vec a,\vec b,\vec c\text{ は一次独立であり、}\ u=s(1-v),\ t(1-u)=v,\ u=v.\text{ よって }u=v=\frac{s}{1+s}\text{、さらに }t=s\text{。したがって}\ \overrightarrow{OP}=\frac{s}{1+s}(\vec a+\vec b+\vec c).\\\text{(2) }\ell=OA=OB=OC\text{ とする。}(1)\text{ より }\overrightarrow{EF}=\vec a+\vec c-s\vec b\text{、}\overrightarrow{DG}=\vec b+\vec c-s\vec a\text{ である。各ベクトルの長さは }\ell\text{、異なる二つの内積は }\ell^2\cos\theta\text{ だから、}\ 0=\overrightarrow{EF}\cdot\overrightarrow{DG}=\ell^2\left((s^2-2s+3)\cos\theta+1-2s\right).\text{ よって}\ \cos\theta=\frac{2s-1}{s^2-2s+3}.\\\text{(3) }D=s^2-2s+3=(s-1)^2+2>0\text{ と書くと、}(2)\text{ から }1+2\cos\theta=\frac{(s+1)^2}{D}.\text{ また}\ \left\|\vec a+\vec b+\vec c\right\|^2=3\ell^2+6\ell^2\cos\theta=3\ell^2(1+2\cos\theta).\text{ 条件 }\sqrt3\,OP=OA=\ell\text{ と }(1)\text{ を用いれば}\ \frac{3s\ell}{1+s}\sqrt{1+2\cos\theta}=\ell\text{したがって} \frac{3s}{\sqrt D}=1.\text{ }s>0\text{ なので平方して }9s^2=D\text{、すなわち }8s^2+2s-3=0\text{。解は }s=\frac12,-\frac34\text{ で、}0<s<1\text{ より }s=\frac12.$$