筑波大学 2019年数学第2問解答・解説

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1問題

筑波大学2019年度第2問

以下の問いに答えよ。

(1) a, b, c, x, y, z, M は正の実数とする。 $\displaystyle \frac{x}{a}$ , $\displaystyle \frac{y}{b}$ , $\displaystyle \frac{z}{c}$ がすべて M 以下のとき,

$\displaystyle \frac {x + y + z}{a + b + c} \leq M$

であることを示せ。

(2) $\log_{2}5$ と $\log_{3}5$ の大小を比較せよ。

(3) n が正の整数のとき,

$\displaystyle 1 < \frac {1 + \log_ {2} 5 + (\log_ {2} 5) ^ {n}}{1 + \log_ {3} 5 + (\log_ {3} 5) ^ {n}} < 2 ^ {n}$

であることを示せ。

まずは自分で解いてみましょう。詰まったら「考え方」、解けたら「答え」で確かめられます。

2答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる

(1) $\displaystyle \quad\frac{x+y+z}{a+b+c}\le M.\qquad$ (2) $\quad\log_2 5>\log_3 5.\qquad$ (3) $\displaystyle \quad1<\frac{1+\log_2 5+(\log_2 5)^n}{1+\log_3 5+(\log_3 5)^n}<2^n.$

3解答

解答を見る途中式つきの解答

(1) 仮定から $x\le aM,\ y\le bM,\ z\le cM$ である。これらを加えて $x+y+z\le M(a+b+c).$ $a+b+c>0$ なので両辺を割り、求める不等式を得る。

(2) $4=2^2<5$ より $2<\log_2 5$ 。また $5<9=3^2$ より $\log_3 5<2$ 。さらに $5>3$ より $\log_3 5>1$ である。したがって $\log_2 5>2>\log_3 5>1.$

(3) $u=\log_2 5,\ v=\log_3 5$ とおくと、(2)より $u>v>1$ 。よって $n\ge1$ に対して $u^n>v^n$ であり、 $1+u+u^n>1+v+v^n>0,$ したがって比は $1$ より大きい。

上側を示すため $r=u/v$ とおく。対数の底変換から $\displaystyle r=\frac{\ln 5/\ln2}{\ln5/\ln3}=\frac{\ln3}{\ln2}=\log_2 3.$ $3<4=2^2$ と対数関数の単調性から $r<2$ 。よって $1<2^n,\qquad u=rv<2v\le2^n v,\qquad u^n=r^n v^n<2^n v^n.$ これらを加えると $1+u+u^n<2^n(1+v+v^n).$ 分母は正なので比は $2^n$ より小さい。

この問題で使う考え方

正数を掛けた不等式の加法
対数関数の単調性
底の変換
正の項ごとの比較

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