6筑波大学 2019年 数学 第6問解答・解説

(1) $z=x+iy$ とおくと、$|z|^2=x^2+y^2$、$z+\bar z=2x$ である。したがって $$x^2+y^2+3=4x\quad\text{であるための必要十分条件は}\quad (x-2)^2+y^2=1.$$ よって $A$ は中心 $(2,0)$、半径 $1$ の円である。

(2) $z=r(\cos\theta+i\sin\theta)$（$r>0$）とおく。(1)の式は $$r^2-4r\cos\theta+3=0$$ となる。$r$ が実数となるための判別式の条件は $$\displaystyle 16\cos^2\theta-12\ge0\quad\text{であるための必要十分条件は}\quad |\cos\theta|\ge\frac{\sqrt3}{2}.$$ 円 $A$ 上では $x\ge1$ なので $r\cos\theta=x>0$、従って $\cos\theta>0$ である。主値 $-\pi<\theta\le\pi$ の範囲で、これらの条件は $\displaystyle -\frac\pi6\le\theta\le\frac\pi6$ に等しい。逆にこの範囲では二次方程式の根 $$r=2\cos\theta\pm\sqrt{4\cos^2\theta-3}$$ は実数であり、積が $3>0$、和が $4\cos\theta>0$ なので正である。よって区間内のすべての偏角が実際に現れる。端点では根が重なり、接点が1つずつである。

(3) $z=r e^{i\theta}$ とすると、ド・モアブルの定理により $z^{60}=r^{60}e^{60i\theta}$ である。$r>0$ だからこれが正の実数となる条件は $$\displaystyle 60\theta=2k\pi\quad\text{（$k$ は整数）},\qquad\text{すなわち}\qquad \theta=\frac{k\pi}{30}.$$ (2)の範囲から $k=-5,-4,\ldots,4,5$ の11通りである。端点 $k=\pm5$ では接点が各1つ、内側の9通りでは半径方向が円と2点で交わる。従って個数は $$2\cdot9+2=20.$$

中心(2,0)、半径1の円周全体。