3佐賀大学 2019年 数学 第3問解答・解説

$\displaystyle \theta=\dfrac{2\pi}{7}$, $\alpha=\cos\theta+i\sin\theta$ とする。

(1) ド・モアブルの定理より $$\alpha^7=\cos(7\theta)+i\sin(7\theta)=\cos2\pi+i\sin2\pi=1.$$ また $0<\theta<2\pi$ より $\alpha\ne1$ である。従って $$\displaystyle (\alpha-1)\sum\limits _{k=0}^{6}\alpha^k=\alpha^7-1=0$$ から $$\displaystyle \boxed{\sum\limits _{k=0}^{6}\alpha^k=0}.$$

(2) $|\alpha|=1$ なので $1/\alpha=\overline{\alpha}=\cos\theta-i\sin\theta$、ゆえに $$\displaystyle \alpha+\frac1\alpha=2\cos\theta.$$ (1)の和を $\alpha^3$ で割り、$t=\alpha+1/\alpha$ とおくと $$\displaystyle \left(\alpha^3+\frac1{\alpha^3}\right) +\left(\alpha^2+\frac1{\alpha^2}\right) +\left(\alpha+\frac1\alpha\right)+1=0.$$ 恒等式 $\alpha^2+\alpha^{-2}=t^2-2$, $\alpha^3+\alpha^{-3}=t^3-3t$ を用いると $$t^3+t^2-2t-1=0.$$ ここで $t=2\cos\theta$ を代入すれば $$8\cos^3\theta+4\cos^2\theta-4\cos\theta-1=0,$$ すなわち $\boxed{f(\cos\theta)=0}$ である。

(3) $j=2,3$ に対し $\gamma=\alpha^j$ とおく。すると $\gamma^7=1$ であり、$0<j\theta<2\pi$ より $\gamma\ne1$。従って $$\displaystyle \sum\limits _{k=0}^{6}\gamma^k=0,\qquad |\gamma|=1,\qquad \gamma+\frac1\gamma=2\cos(j\theta).$$ (2)と同じ変形を行うと $$\left(2\cos(j\theta)\right)^3+\left(2\cos(j\theta)\right)^2 -2\left(2\cos(j\theta)\right)-1=0,$$ すなわち $f(\cos(j\theta))=0$ を得る。特に $$\boxed{f(\cos2\theta)=0,\qquad f(\cos3\theta)=0}.$$

7乗根の幾何級数和から三角関数の和を導き、多項式 f の式に変換する。この論証を α の2乗・3乗にも適用する。