4佐賀大学 2019年 数学 第4問解答・解説

(1) 整数の平方は、3で割った余りが0なら0、余りが1または2なら1となる。したがって $x^2+y^2\equiv0\pmod3$ となるのは、$x,y$ がともに3の倍数の場合に限る。

(2) $n$ に関する帰納法を用いる。$n=0$ では $x^2+y^2=5$ より $(x,y)=(1,2),(2,1)$。次に $n+1$ とする。右辺 $5\cdot3^{2(n+1)}$ は3の倍数なので、(1)より $x=3u、y=3v$ と書ける。代入して9で割ると $$u^2+v^2=5\cdot3^{2n}。$$ 帰納法の仮定から $(u,v)=(3^n,2\cdot3^n)$ または $(2\cdot3^n,3^n)$。したがって $(x,y)$ はその各成分を3倍した二組である。指定された二組を元の式へ代入すれば等式を満たすので、これらがすべての解である。

(3) $m=0$ では $x^2+y^2=7$。正の整数 $x$ は1または2で、対応する $y^2$ は6または3となり解はない。$m=1$ では $x=1,2,3,4$ を調べれば $y^2=20,17,12,5$ となるため、やはり解はない。

$m\ge2$ で解があると仮定する。右辺は3の倍数なので(1)から $x=3u、y=3v$。9で割ると $u^2+v^2=7\cdot3^{m-2}$ となる。偶数の $m$ では基底 $m=0$、奇数の $m$ では基底 $m=1$ から、それぞれ添字を2ずつ下げる帰納法で、解があると仮定した最小の指数まで下がると基底に矛盾する。よってどの $m\ge0$ にも自然数解はない。

答え

(1) $3\mid x$ かつ $3\mid y$。(2) 解は $(3^n,2\cdot3^n)$ と $(2\cdot3^n,3^n)$ のみ。(3) 自然数解は存在しない。