1獨協医科大学 2019年 数学 第1問解答・解説

(1)(i) $t=2^x>0$ とおくと、$4^x=t^2$、$2^{x+3}=8t$ であり、$9^{\log_3 4}=4^2=16$ だから、方程式は$t^2-8t+12=0$となる。$(t-2)(t-6)=0$より$t=2,6$。いずれも正であるから、$x=1,\log_2 6$である。

(1)(ii) 真数条件から$3<x<5$。また$\displaystyle \log_{a^2}y=\tfrac12\log_a y$なので、不等式は $$2\log_a(x-3)-\log_a(5-x)<\log_a x,$$ すなわち$\displaystyle \log_a\dfrac{(x-3)^2}{5-x}<\log_a x$と同値である。$a>1$では対数関数が増加するから$(x-3)^2<x(5-x)$、したがって$2x^2-11x+9<0$。この二次式の根は$\displaystyle 1,\tfrac92$なので、定義域との共通範囲は$\displaystyle 3<x<\tfrac92$。$0<a<1$では対数関数が減少するから不等号が逆になり、$2x^2-11x+9>0$より定義域との共通範囲は$\displaystyle \tfrac92<x<5$である。

(2) $|\alpha|=4$で、$\alpha$は第2象限にあり偏角は$\displaystyle \tfrac23\pi$。$\displaystyle |\beta|=\tfrac12$で、偏角は$\displaystyle \tfrac13\pi$。よって $$\displaystyle \alpha=4\left(\cos\tfrac23\pi+i\sin\tfrac23\pi\right),\qquad \beta=\tfrac12\left(\cos\tfrac13\pi+i\sin\tfrac13\pi\right).$$ $D_1$の二辺の長さは$4,4$、その間の角は$\displaystyle \tfrac23\pi$なので、面積は$4\sqrt3$。$D_2$は$D_1$を$\displaystyle \tfrac12$倍して$\displaystyle \tfrac13\pi$回転した三角形で、面積は$\sqrt3$。$D_2$の角度範囲のうち$\displaystyle \tfrac13\pi\le\theta\le\tfrac23\pi$の部分が$D_1$と重なる。$D_2$の辺が角$\displaystyle \tfrac23\pi$の半直線と交わる点を$X$とすると、二つの頂点の対称性から$OX=1$。重なりは三角形$OA_2X$であり、その面積は$\displaystyle \tfrac12\cdot2\cdot1\sin\tfrac13\pi=\tfrac{\sqrt3}{2}$。従って $$\displaystyle S_2=4\sqrt3+\sqrt3-\tfrac{\sqrt3}{2}=\tfrac{9\sqrt3}{2}.$$

各$D_n$の二辺の長さを$R_n=4\cdot2^{-(n-1)}$、一方の辺の方向を$\displaystyle \phi_n=(n-1)\tfrac\pi3$とする。角度$\displaystyle \phi_n\le\theta\le\phi_n+\tfrac{2\pi}3$の半直線が三角形の対辺と交わる距離は $$\displaystyle \rho_n(\theta)=\frac{R_n}{2\cos(\theta-\phi_n-\tfrac\pi3)}.$$ $D_2,D_3,D_4,D_5$はそれぞれ、角度の範囲$\displaystyle \tfrac{2\pi}3<\theta<\pi$、$\displaystyle \pi<\theta<\tfrac{4\pi}3$、$\displaystyle \tfrac{4\pi}3<\theta<\tfrac{5\pi}3$、$\displaystyle \tfrac{5\pi}3<\theta<2\pi$に直前までの領域に含まれない部分を持つため、各回で面積が正に増える。

$D_6$の角度範囲は$\displaystyle \tfrac{5\pi}3\le\theta\le\tfrac{7\pi}3$。前半$\displaystyle \tfrac{5\pi}3\le\theta\le2\pi$について、$\displaystyle \delta=\theta-\tfrac{5\pi}3\ (0\le\delta\le\tfrac\pi3)$と置けば $$\displaystyle \rho_6(\theta)=\frac{1}{16\cos(\delta-\tfrac\pi3)},\qquad \rho_5(\theta)=\frac{1}{8\cos\delta}.$$ $\displaystyle 2\cos(\delta-\tfrac\pi3)=\cos\delta+\sqrt3\sin\delta\geq\cos\delta$だから$\rho_6(\theta)\leq\rho_5(\theta)$。後半を$\displaystyle 2\pi\le\theta\le\tfrac{7\pi}3$と見ると$\displaystyle \rho_6\leq\tfrac18$。一方、対応する$D_1$の角度$\displaystyle 0\le\theta\le\tfrac\pi3$では$\displaystyle \rho_1=2/\cos(\theta-\tfrac\pi3)\geq2$。従ってこの部分も$D_1$に含まれ、$D_6\subset D_1\cup D_5$。以上から$S_n=S_{n-1}$となる最小の$n\geq2$は$6$である。