4獨協医科大学 2019年 数学 第4問解答・解説

まず$x=-1$での連続性と微分可能性から $$2+a=1-2b+2c,\qquad -2=-2b-1.$$ 従って$\displaystyle b=\tfrac12$、$a=2c-2$。$x=2$での連続性と微分可能性から $$b-2+2c=2-c+16b-5d,\qquad 4b-1=17-12c.$$ これらを解くと$\displaystyle c=\tfrac43,d=\tfrac32,a=\tfrac23$。よって $$\displaystyle f(x)=\begin{cases} -2x+\tfrac23 &(x<-1),\\ \tfrac12x^2-x+\tfrac76 &(-1\leq x<2),\\ -\tfrac13x^3+2x^2-3x+\tfrac{11}6 &(2\leq x). \end{cases}$$

(1) 左の一次関数の値域は$\displaystyle y>\tfrac83$。中央の二次関数は$x=1$で最小値$\displaystyle \tfrac23$をとり、$-1\le x\le1$で減少、$1\le x<2$で増加する。右の三次関数の導関数は$-(x-1)(x-3)$であり、$2\le x\le3$で増加、$x\ge3$で減少し、最大値は$x=3$で$\displaystyle \tfrac{11}6$である。

従って$\displaystyle \tfrac23<k<\tfrac76$では中央部分に2解、右部分に1解がある。$\displaystyle k=\tfrac76$では中央の減少部分に1解、$x=2$と$x>3$に各1解がある。$\displaystyle \tfrac76<k<\tfrac{11}6$では中央の減少部分に1解、右部分に2解がある。いずれも合計3解である。端の$\displaystyle k=\tfrac23,\tfrac{11}6$では重解を1個として数えるため相異なる解は2個となり、範囲外の$k$でも3個にはならない。したがって$\displaystyle \tfrac23<k<\tfrac{11}6$。この範囲では最小の解$\alpha$は中央の減少部分にあり、 $$\displaystyle \tfrac12(x-1)^2+\tfrac23=k,\qquad \alpha=1-\sqrt{2k-\tfrac43}.$$ $k$の範囲の端点を用いると$\displaystyle \tfrac{3-\sqrt{21}}3<\alpha<1$。

(2) $\displaystyle f(2)=\tfrac76, f'(2)=1$より、点$P$での法線は$\displaystyle y=-x+\tfrac{19}6$。左側の枝との交点は $$\displaystyle -2x+\tfrac23=-x+\tfrac{19}6\quad\text{より}\quad x=-\tfrac52,\quad Q=(-\tfrac52,\tfrac{17}3).$$ 中段$-1\leq x<2$との交点条件も調べると、$\displaystyle \tfrac12x^2-x+\tfrac76=-x+\tfrac{19}6$より$x=\pm2$となるが、負の根$-2$は中段の範囲$-1\le x<0$にない。したがって$x<0$にある交点は上の$Q$だけである。

$2<x<4$では、法線から曲線までの符号付き縦の差は $$\displaystyle g(x)=f(x)-(-x+\tfrac{19}6)=-\tfrac13(x-2)\bigl((x-2)^2-6\bigr).$$ $0<x-2<2$だから$(x-2)^2<4<6$、従って$g(x)>0$。直線$QP$の傾きは$-1$なので、$R$から$QP$までの距離は$g(x)/\sqrt2$。よって三角形の面積は$\displaystyle \frac{|QP|}{2\sqrt2}g(x)$に等しく、$g(x)$の最大化と同じである。$g'(x)=-x^2+4x-2$は$x=2+\sqrt2$で符号が正から負へ変わるため、面積はそこで最大となる。そのとき $$\displaystyle f(2+\sqrt2)=\frac{7+2\sqrt2}{6},\qquad R=\left(2+\sqrt2,\frac{7+2\sqrt2}{6}\right).$$