3獨協医科大学 2019年 数学 第3問解答・解説

$\overrightarrow{AB}=(0,3,3)$、$\overrightarrow{CD}=(2,2,1)$より $$P=(4,3p-5,3p+2),\qquad Q=(2q-1,2q-1,q+4).$$

(1) $O,P,Q$が一直線上にあるとき、$P\ne O$なので$Q=tP$とおける。第1、第2成分の関係から $$4(2q-1)=(2q-1)(3p-5),\quad (2q-1)(3p-9)=0.$$ $\displaystyle q=\tfrac12$なら$\displaystyle Q=(0,0,\tfrac92)$となり$Q=tP$に反する。よって$p=3$。第1、第3成分を等置して $$\displaystyle 4(q+4)=11(2q-1),\quad q=\frac32.$$

(2) $\overrightarrow{PQ}=Q-P=(-5+2q,4+2q-3p,2+q-3p)$。直線$PQ$が$AB$と垂直である条件は$\overrightarrow{PQ}\cdot\overrightarrow{AB}=0$だから $$3(4+2q-3p)+3(2+q-3p)=0,$$ すなわち$2-2p+q=0$。

(3) 線分$PQ$の長さが最小となるとき、$\overrightarrow{PQ}$は両直線の方向ベクトルに垂直である。よって $$\overrightarrow{PQ}\cdot\overrightarrow{AB}=0,\qquad \overrightarrow{PQ}\cdot\overrightarrow{CD}=0.$$ 第1式は$q-2p+2=0$、第2式は$9q-9p=0$となるので$p=q=2$。従って $$P_1=(4,1,8),\qquad Q_1=(3,3,6).$$ さらに、この候補が実際に最短となることを確かめる。$\boldsymbol a=(0,3,3)$、$\boldsymbol b=(2,2,1)$、$\boldsymbol w=(-1,2,-2)$ とおく。任意の $p,q$ に対して $$\overrightarrow{PQ}=\boldsymbol w+(q-2)\boldsymbol b-(p-2)\boldsymbol a.$$ $\boldsymbol w\cdot\boldsymbol a=\boldsymbol w\cdot\boldsymbol b=0$ だから $$|PQ|^2=|\boldsymbol w|^2+ |(q-2)\boldsymbol b-(p-2)\boldsymbol a|^2\ge9.$$ $p=q=2$ で等号が成立する。また等号なら第1成分から $2(q-2)=0$、続いて $(p-2)\boldsymbol a=0$ なので $p=q=2$ に限る。従って上記の $P_1,Q_1$ が唯一の最短となる組である。

$\overrightarrow{P_1Q_1}=(-1,2,-2)$とすると、平面$P_1Q_1A$、$P_1Q_1C$の法線ベクトルとしてそれぞれ $$\boldsymbol n_1=(4,1,-1),\qquad \boldsymbol n_2=(-2,1,2)$$ をとれる。従って $$\displaystyle \cos\theta=\frac{|\boldsymbol n_1\cdot\boldsymbol n_2|}{|\boldsymbol n_1||\boldsymbol n_2|} =\frac9{\sqrt{18}\cdot3}=\frac1{\sqrt2}.$$ $\displaystyle 0\leq\theta\leq\tfrac\pi2$より$\displaystyle \theta=\tfrac14\pi$。