II日本医科大学 2019年 数学 第II問解答・解説

日本医科大学 2019 医学部前期 問題 II

問1

球の中心を $O$、三角形 $ABC$ を含む平面への $O$ の垂線の足を $I$ とする。$OA=OB=OC=1$ であり、各頂点は同じ平面上にあるから、直角三角形の関係

$$IA^2=OA^2-OI^2=1-OI^2$$

および同様の式から $IA=IB=IC$。よって $I$ は正三角形 $ABC$ の外心である。その外接円半径は $l/\sqrt3$ である。これは単位球と平面との交わりの円の半径なので $l/\sqrt3\le1$。また $A,B,C$ は異なる点だから $l>0$。従って

$$\boxed{0<l\le\sqrt3}.$$

この範囲の各 $l$ について半径 $l/\sqrt3$ の円を単位球と交わる平面上に置き、その円周上に正三角形を取れる。球面上にはその平面外の点 $P$ も取れるので、この範囲は実現可能である。

問2

$\boldsymbol u=\overrightarrow{AB}$、$\boldsymbol v=\overrightarrow{AC}$ とおく。$H$ は平面 $ABC$ 上にあるから、ある実数 $x,y$ を用いて

$$\overrightarrow{AH}=x\boldsymbol u+y\boldsymbol v$$

と書ける。$PH\perp AB,AC$ より $\overrightarrow{AH}\cdot\boldsymbol u=s$、$\overrightarrow{AH}\cdot\boldsymbol v=t$。正三角形から

$$\displaystyle \boldsymbol u\cdot\boldsymbol u=\boldsymbol v\cdot\boldsymbol v=l^2, \qquad \boldsymbol u\cdot\boldsymbol v=\frac{l^2}{2}$$

なので

$$\displaystyle \begin{cases} l^2x+\dfrac{l^2}{2}y=s,\\[2mm] \dfrac{l^2}{2}x+l^2y=t. \end{cases}$$

この連立方程式を解くと

$$\displaystyle x=\frac{4s-2t}{3l^2},\qquad y=\frac{4t-2s}{3l^2}.$$

よって

$$\displaystyle \boxed{\overrightarrow{AH}=\frac{4s-2t}{3l^2}\overrightarrow{AB} +\frac{4t-2s}{3l^2}\overrightarrow{AC}}.$$

問3

原点を $O$ とする位置ベクトルをそれぞれ太字の小文字 $\boldsymbol a,\boldsymbol b,\boldsymbol c,\boldsymbol p$ で表す。球面上にあるので各ベクトルの長さは $1$、また正三角形の辺長が $l$ だから

$$\displaystyle \boldsymbol a\cdot\boldsymbol b=\boldsymbol b\cdot\boldsymbol c =\boldsymbol c\cdot\boldsymbol a=1-\frac{l^2}{2}.$$

定義から

$$\displaystyle \begin{aligned} s&=(\boldsymbol p-\boldsymbol a)\cdot(\boldsymbol b-\boldsymbol a) =\boldsymbol p\cdot(\boldsymbol b-\boldsymbol a)+\frac{l^2}{2},\\ t&=(\boldsymbol p-\boldsymbol a)\cdot(\boldsymbol c-\boldsymbol a) =\boldsymbol p\cdot(\boldsymbol c-\boldsymbol a)+\frac{l^2}{2}. \end{aligned}$$

したがって条件 $2s-t=l^2$ は

$$\displaystyle \boldsymbol p\cdot(2\boldsymbol b-\boldsymbol a-\boldsymbol c)=\frac{l^2}{2}$$

と同値である。ここで

$$\boldsymbol N=2\boldsymbol b-\boldsymbol a-\boldsymbol c =(\boldsymbol b-\boldsymbol a)+(\boldsymbol b-\boldsymbol c)$$

とおくと、二つのベクトルはともに長さ $l$、なす角は正三角形の角 $60^\circ$ だから

$$|\boldsymbol N|^2=l^2+l^2+2l^2\cos60^\circ=3l^2.$$

$\boldsymbol e=\boldsymbol N/(\sqrt3l)$ とおけば、条件は

$$\displaystyle \boldsymbol p\cdot\boldsymbol e=\frac{l}{2\sqrt3}.$$

$\boldsymbol e$ は平面 $ABC$ に平行である。平面 $ABC$ の単位法線 $\boldsymbol n$ の向きを、平面の式が $\boldsymbol n\cdot\boldsymbol x=d$、$d\ge0$ となるように選ぶ。問1の外接円半径 $l/\sqrt3$ と球の半径 $1$ から

$$\displaystyle d=\sqrt{1-\frac{l^2}{3}}.$$

$\boldsymbol e\perp\boldsymbol n$ なので、$\boldsymbol e,\boldsymbol n$ に垂直な単位ベクトルを $\boldsymbol g$ とすると

$$\displaystyle \boldsymbol p=\frac{l}{2\sqrt3}\boldsymbol e+u\boldsymbol n+v\boldsymbol g, \qquad u^2+v^2=1-\frac{l^2}{12}.$$

よって $u=\boldsymbol p\cdot\boldsymbol n$ の取り得る範囲は

$$\displaystyle -\sqrt{1-\frac{l^2}{12}}\le u\le\sqrt{1-\frac{l^2}{12}}.$$

点 $P$ から平面 $ABC$ までの距離は $|u-d|$ だから、その最大値は

$$\displaystyle d+\sqrt{1-\frac{l^2}{12}} =\sqrt{1-\frac{l^2}{3}}+\sqrt{1-\frac{l^2}{12}},$$

であり、$u=-\sqrt{1-l^2/12}$、$v=0$ のとき実現する。この点は底面上にはなく、四面体の頂点として許される。

底面積は $\sqrt3l^2/4$ だから、体積の最大値は

$$\displaystyle \boxed{V(l)=\frac{\sqrt3l^2}{12} \left(\sqrt{1-\frac{l^2}{12}}+\sqrt{1-\frac{l^2}{3}}\right)}.$$

最終結果・解法・確認事項

- 問1：$0<l\le\sqrt3$。 - 問2：$\displaystyle\overrightarrow{AH}=\frac{4s-2t}{3l^2}\overrightarrow{AB}+\frac{4t-2s}{3l^2}\overrightarrow{AC}$。 - 問3：$\displaystyle V(l)=\frac{\sqrt3l^2}{12}\left(\sqrt{1-\frac{l^2}{12}}+\sqrt{1-\frac{l^2}{3}}\right)$。 - 解法：平面への垂線と正三角形の外接円、内積による射影係数の決定、球面上の線形条件と点から平面までの距離の最大化。 - 定義域：問1より $0<l\le\sqrt3$。このときすべての平方根は実数。 - issues：なし。