1北海道大学 2019年 数学 第1問解答・解説

平面$\alpha$は$\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB}$が張るので、垂線の足を$Q=sA+tB$とおく。$P-Q$は$\alpha$に垂直であるから、$A,B$の両方と内積が0になる。 $$A\cdot A=5,\quad A\cdot B=-6,\quad B\cdot B=9,\quad P\cdot A=-p-2,\quad P\cdot B=2p+4.$$ したがって $$(P-sA-tB)\cdot A=0,\quad (P-sA-tB)\cdot B=0$$ より $$5s-6t=-p-2,\qquad -6s+9t=2p+4.$$ 第1式を3倍、第2式を2倍して加えると$3s=p+2$だから$\displaystyle s=\frac{p+2}{3}$。これを第2式に代入して$9t=4p+8$、したがって$\displaystyle t=\frac{4(p+2)}9$を得る。 よって $$\displaystyle Q=sA+tB =\left(-s+2t,\,2s-2t,\,t\right) =\left(\frac{5p+10}{9},-\frac{2p+4}{9},\frac{4p+8}{9}\right).$$ また、$Q=sA+tB$が$\triangle OAB$の周または内部にある条件は$s\ge0,\ t\ge0,\ s+t\le1$である。$s,t$から最初の2条件は$p\ge-2$、また $$\displaystyle s+t=\frac{p+2}{3}+\frac{4(p+2)}9=\frac{7(p+2)}9\le1$$ は$\displaystyle p\le-\frac57$と同値。もともと$p<0$だから、求める範囲は $$\displaystyle -2\le p\le-\frac57.$$