北海道大学 2019年数学第2問解答・解説

数と式数学と人間の活動（整数）

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1問題

北海道大学2019年度第2問

n を自然数とし, $a_{n}=n(n+1)$ とする。さらに, $a_{n}$ と $a_{n+3}$ の最大公約数を $d_{n}$ とする。

(1) $d_{n}$ は偶数であることを示せ。

(2) $d_{n}$ は 8 で割り切れないことを示せ。

(3) p を 5 以上の素数とするとき, $d_{n}$ は p で割り切れないことを示せ。

(4) $d_{n} \leq 12$ を示せ。また, $d_{n} = 12$ となるような n を 1 つ求めよ。

まずは自分で解いてみましょう。詰まったら「考え方」、解けたら「答え」で確かめられます。

2考え方

考え方を見る解き方の方針だけを確かめる

2つの積の差とその整数倍との線形結合から d_n|12 を導き、約数の性質で(2)〜(4)を示す。(1)は連続整数の積の偶奇で示す。

3答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる

(1) $2\mid d_n,\quad$ (2) $8\nmid d_n,\quad$ (3) $p\nmid d_n\space{}(p\ge5$ prime $),\quad$ (4) $d_n\le12,\space{}d_8=12\space{}(n=8).$

4解答

解答を見る途中式つきの解答

まず $a_{n+3}-a_n=(n+3)(n+4)-n(n+1)=6n+12$ より $d_n\mid 6n+12$ 。また $d_n\mid a_n$ なので $d_n\mid 6a_n$ であり、 $d_n\mid n(a_{n+3}-a_n)-6a_n=6n$ 。したがって $d_n\mid(6n+12)-6n=12$ である。(1) $n,n+1$ は連続する整数なので $a_n=n(n+1)$ は偶数。同様に $a_{n+3}=(n+3)(n+4)$ も偶数であり、その最大公約数 $d_n$ は偶数である。(2) $d_n\mid12$ だから $8\mid d_n$ なら $8\mid12$ となるが不可能である。(3) $p\mid d_n$ なら $p\mid12=2^2\cdot3$ である。12の素因数は2と3だけなので、5以上の素数pは $d_n$ を割らない。(4) $d_n$ は正の12の約数なので $d_n\le12$ 。また $n=8$ とすると $a_8=72,\ a_{11}=132$ であり、 $\gcd(72,132)=\gcd(72,60)=\gcd(60,12)=12$ 。よって $d_8=12$ 。

この問題で使う考え方

約数・倍数
ユークリッドの互除法

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