10千葉大学 2010年 数学 第10問解答・解説

(1) $3\mid k^3+1$ より、$k\equiv2\pmod3$。そこで $3^n=k^3+1=(k+1)(k^2-k+1)$。両因数は$3$で割れ、またその最大公約数は、$(k^2-k+1)-(k+1)(k-2)=3$より3である。 積が$3$の累乗なので、$k+1=3^r,\ k^2-k+1=3^s\ (r,s\ge1)$。$k>2$なら後者は前者より大きく$s>r$となるから、最大公約数は$3^r=3$、従って$r=1$、$k=2$となり矛盾。よって$k=2$であり、$3^n=9$から$n=2$。 (2) $n$が奇数なら$3^n\equiv3\pmod8$である。一方$k^2=3^n+40\equiv3\pmod8$となるが、平方数の法$8$での剰余は$0,1,4$のいずれかなので不可能。よって$n=2m$。 すると$(k-3^m)(k+3^m)=k^2-3^{2m}=40$。$k^2=3^{2m}+40$より$k>3^m$で、$k$と$3^m$はいずれも奇数なので、2つの因数は正の偶数である。 小さい方を$d=k-3^m$、大きい方を$e=k+3^m$とすると、$de=40$かつ$d<e$。正の偶数因数の組は$(d,e)=(2,20),(4,10)$。 $(d,e)=(2,20)$なら$k=11,\ 3^m=9$より$m=2,\ n=4$。$(d,e)=(4,10)$なら$k=7,\ 3^m=3$より$m=1,\ n=2$。いずれも元の式を満たす。