6千葉大学 2010年 数学 第6問解答・解説

サイコロの奇数・偶数はそれぞれ3面ずつなので、各回の移動は確率 $\displaystyle \frac12$ で +1 または -1 となり、各回は独立である。 $$\text{(1)}\quad X(10)=0$$ となるには、10回のうち +1 が5回、-1 が5回であればよい。従って $$\displaystyle P(X(10)=0)=\binom{10}{5}\left(\frac12\right)^{10} =\frac{252}{1024}=\frac{63}{256}.$$ $$\text{(2)}\quad X(1),\ldots,X(5)\ne0,\quad X(6)=0$$ となる経路を数える。最初の移動方向は2通りあり、最後はその反対方向でなければならない。最初を正方向と固定すると、途中の4歩は高さ1から高さ1へ戻り、原点より上にとどまる。高さを1だけ下げると、4歩の上がり下がり列は上がり2回・下がり2回で、各時点までの合計が負にならないものに限られる。該当する列は $$\mathrm{UUDD},\quad \mathrm{UDUD}$$ の2通りである。最初の方向を反対にした場合も同数だから、該当する符号列は 2$\cdot$2=4 通り。よって $$\displaystyle P=\frac{4}{2^6}=\frac{1}{16}.$$ $$\text{(3)}\quad X(1),\ldots,X(9)\ne0,\quad X(10)=0$$ も同じ考え方で数える。最初の方向を正方向と固定し、最後を反対方向とすると、途中の8歩を高さ1から高さ1へ戻る列にできる。高さを1だけ下げた列は、上がり4回・下がり4回で、各時点までの合計が負にならないものに限られる。先頭から順に条件を適用して直接列挙すると、該当する列は次の14通りである。 $$\begin{gathered} \mathrm{UUUUDDDD},\ \mathrm{UUUDUDDD},\ \mathrm{UUUDDUDD},\ \mathrm{UUUDDDUD},\\ \mathrm{UUDUUDDD},\ \mathrm{UUDUDUDD},\ \mathrm{UUDUDDUD},\ \mathrm{UUDDUUDD},\\ \mathrm{UUDDUDUD},\ \mathrm{UDUUUDDD},\ \mathrm{UDUUDUDD},\ \mathrm{UDUUDDUD},\\ \mathrm{UDUDUUDD},\ \mathrm{UDUDUDUD}. \end{gathered}$$ 最初の方向を反対にした列も同数だから、該当する符号列は 2$\cdot$14=28 通り。よって $$\displaystyle P=\frac{28}{2^{10}}=\frac{7}{256}.$$