4琉球大学 2009年 数学 第4問解答・解説

1回の試行の結果は，$+x,-x,+y,-y$ の4種類の移動と，目5または6による静止の2種類である。したがって，$n$ 回の出目列は全部で $6^n$ 通りあり，いずれも同様に確からしい。　 問1では，$\mathrm{OP}=1$ となる終点は $(1,0),(-1,0),(0,1),(0,-1)$ の4点である。対称性により $(1,0)$ に着く列数を数える。$+x,-x,+y,-y$ の回数をそれぞれ $a,b,c,d$，静止の回数を $z$ とすると，$a-b=1,\ c=d$ である。$b=m, c=d=k$ とおけば $a=m+1, z=2-2m-2k$ となるから，$(m,k)=(0,0),(1,0),(0,1)$ の3通りである。それぞれの列数は，順に $\displaystyle \binom31 2^2=12,\ 3,\ 3!=6$ である。よって1つの終点に着く列数は $21$ 通り，4点全体では $84$ 通りである。したがって確率は $\displaystyle \dfrac{84}{6^3}=\dfrac{7}{18}$ である。　 問2では，整数座標 $(x,y)$ が $x^2+y^2=25$ を満たす終点を数える。これらは $(\pm5,0),(0,\pm5)$ の4点と，$(\pm4,\pm3),(\pm3,\pm4)$ の8点である。まず $(5,0)$ に着く列数を求める。回数を問1と同様におき，$a-b=5, c=d$ から $b=m,c=d=k$ とすると $a=m+5, z=2-2m-2k$ であり，可能なのは $(m,k)=(0,0),(1,0),(0,1)$ である。対応する列数は $\displaystyle \binom72 2^2=84,\ 7,\ \dfrac{7!}{5!}=42$ なので，合計 $133$ 通りである。対称性から4つの軸上の終点では $4\cdot133$ 通りとなる。残る8点では，座標の絶対値の和が $7$ であるため，7回すべてが座標の符号に沿った移動となる。例えば $(4,3)$ には $+x$ が4回，$+y$ が3回出ればよく，列数は $\displaystyle \binom74=35$ 通りである。他の7点も同数である。よって有利な列は $4\cdot133+8\cdot35=812$ 通りであり，求める確率は $\displaystyle \dfrac{812}{6^7}=\dfrac{203}{69984}$ である。