1琉球大学 2009年 数学 第1問解答・解説

問1　 三角形 $OAB$ は $O$ を直角とする三角形であるから、斜辺 $AB$ に下ろした垂線の足 $P$ は線分 $AB$ 上にある。よって、三角形 $OAP$ と $OBP$ はともに $P$ を直角とする。$0^\circ<\theta<90^\circ$ であり、$OP=1$ だから、三角形 $OAP$ について $$\displaystyle OA=\frac{OP}{\cos\theta}=\frac{1}{\cos\theta},\qquad AP=OP\tan\theta=\tan\theta.$$ また、$OA\perp OB$ より $\angle POB=90^\circ-\theta$ なので、三角形 $OBP$ について $$\displaystyle OB=\frac{OP}{\cos(90^\circ-\theta)}=\frac{1}{\sin\theta},\qquad PB=OP\tan(90^\circ-\theta)=\frac{\cos\theta}{\sin\theta}.$$ $P$ は $AB$ 上にあるため $\displaystyle AB=AP+PB=\tan\theta+\frac{\cos\theta}{\sin\theta}$ である。したがって、 $$\displaystyle \begin{aligned} OA+OB-AB&=\frac{1}{\cos\theta}+\frac{1}{\sin\theta}-\tan\theta-\frac{\cos\theta}{\sin\theta}\\ &=\frac{\sin\theta+\cos\theta}{\sin\theta\cos\theta}-\frac{1}{\sin\theta\cos\theta}\\ &=\frac{\sin\theta+\cos\theta-1}{\sin\theta\cos\theta}. \end{aligned}$$ 　 問2　 $t=\sin\theta+\cos\theta$ とおく。$\sin^2\theta+\cos^2\theta=1$ より $$\displaystyle \sin\theta\cos\theta=\frac{t^2-1}{2}.$$ 問1の式は $\displaystyle \dfrac{2(t-1)}{t^2-1}=\dfrac{2}{t+1}$ となる。ここで $t>1$ であり、 $$(\sin\theta+\cos\theta)^2\le 2(\sin^2\theta+\cos^2\theta)=2$$ だから $t\le\sqrt{2}$。従って $\displaystyle \dfrac{2}{t+1}\ge\dfrac{2}{\sqrt{2}+1}=2(\sqrt{2}-1)$ である。等号は $\sin\theta=\cos\theta$、すなわち $\theta=45^\circ$ のときに成り立つ。この場合は $OA=OB=\sqrt{2}$ とする直角二等辺三角形 $OAB$ が条件 $OP=1$ を満たすので、等号は実際に達成される。以上より最小値は $2(\sqrt{2}-1)$ である。