5九州大学 2008年 数学 第5問解答・解説

円Qの中心をO、円Rの中心をCとする。円Rは円Qに外接するので、$OC=2+3=5$である。Oから円Rに引いた接線の接点をPとすると、$CP\perp OP$であり、$CP=3$である。二つの接線はOCについて対称だから、$\alpha=\theta/2$とおけば、直角三角形OCPで $$\displaystyle \sin\alpha=\frac{3}{5},\qquad \cos\alpha=\frac{4}{5}.$$ したがって、二倍角の公式より $$\displaystyle \sin\theta=\sin2\alpha=2\sin\alpha\cos\alpha=2\cdot\frac35\cdot\frac45=\frac{24}{25}.$$

また、$0<\theta<\pi$より$0<\alpha<\pi/2$である。$\sin(\pi/6)=1/2<3/5<\sqrt2/2=\sin(\pi/4)$であり、正弦は$0$から$\pi/2$まで増加するから、$\pi/6<\alpha<\pi/4$。よって $$\displaystyle \frac{\pi}{3}<\theta<\frac{\pi}{2}.$$

配置できる個数が5個以上だと仮定し、そのうち5個の円の中心を円周上で順に見る。この5個を隔てる5つの中心角の和は$2\pi$だから、少なくとも1つの中心角$\delta$は$\delta\le 2\pi/5$を満たす。このとき$0<\delta/2\le\pi/5$である。以下、$\sin(\pi/5)<3/5$を確認する。$c=\cos(2\pi/5)$とおくと、$0<c<1/2$であり、加法定理から $$\displaystyle 1=\cos(2\pi)=\cos\left(5\cdot\frac{2\pi}{5}\right)=16c^5-20c^3+5c.$$ したがって $$0=16c^5-20c^3+5c-1=(c-1)(4c^2+2c-1)^2.$$ $c\ne1$かつ$c>0$なので、$c=(\sqrt5-1)/4$である。二倍角の公式より $$\displaystyle \sin^2\frac{\pi}{5}=\frac{1-\cos(2\pi/5)}2=\frac{5-\sqrt5}{8}<\frac9{25},$$ 最後の不等式は$53<25\sqrt5$、すなわち$2809<3125$から従う。よって$\sin(\pi/5)<3/5$である。

この5個のうち中心角が$\delta$の隣り合う2中心をA、Bとすると、$OA=OB=5$より $$\displaystyle AB=10\sin\frac{\delta}{2}\le10\sin\frac{\pi}{5}<6.$$ 半径3の円どうしが交わらないためには中心間距離が6以上必要なので、これは矛盾である。したがって5個以上は配置できない。一方、円Qと同心の半径5の円周上に正方形の頂点を4中心として置けば、隣り合う中心間距離は$5\sqrt2>6$、向かい合う中心間距離は10であるから、4個は互いに交わらずに配置できる。ゆえに最大個数は4個である。