4九州大学 2008年 数学 第4問解答・解説

設問設定：$a>0$ とし，$f(x)=a+\log x\ (x>0)$，$g(x)=\sqrt{x-1}\ (x\ge 1)$ とおく。以下，$\log$ は自然対数 $\log_e$ を表す（$f$ の導関数が $1/x$ となるのはこの意味の対数のときだけであるため，この問題設定ではこの解釈をとる）。

(1)

点 $P$ の $x$ 座標を $t$ とする。$g$ の定義域は $x\ge 1$ であるから $t\ge 1$ が必要である。さらに $P$ で共通接線をもつには，$t$ において両曲線が微分可能かつ微分係数が一致しなければならない。$\displaystyle g'(x)=\dfrac{1}{2\sqrt{x-1}}$ は $x=1$ で定義されない（$x\to 1+$ で $+\infty$ に発散する）ので，$t>1$ でなければならない。

$\displaystyle f'(x)=\dfrac{1}{x}\ (x>0)$，$\displaystyle g'(x)=\dfrac{1}{2\sqrt{x-1}}\ (x>1)$ であるから，接線の傾きが一致する条件は$$\displaystyle f'(t)=g'(t)\text{すなわち} \frac{1}{t}=\frac{1}{2\sqrt{t-1}}\text{すなわち} 2\sqrt{t-1}=t.$$この方程式は $a$ を含まない。$t>1>0$ より両辺は正であるから，2乗しても同値である：$$4(t-1)=t^{2}\text{すなわち} t^{2}-4t+4=0\text{すなわち} (t-2)^{2}=0\text{すなわち} t=2.$$$t=2$ は $t>1$ を満たすので，これが唯一の候補である。

次に，点の共有条件 $f(t)=g(t)$ より $$a+\log 2=g(2)=\sqrt{2-1}=1\ \text{より}\ a=1-\log 2.$$ここで $2<e$ より $\log 2<1$ であるから $a=1-\log 2>0$ となり，題意の $a>0$ と矛盾しない（解として適する）。

よって $$a=1-\log 2,\qquad P=(2,\ f(2))=(2,\ 1).$$接線の傾きは $\displaystyle f'(2)=\dfrac12$（実際 $\displaystyle g'(2)=\dfrac{1}{2\sqrt{1}}=\dfrac12$ で一致し，共通接線であることが確認できる）であるから，接線 $l$ は$$\displaystyle y-1=\frac12(x-2)\quad\text{すなわち}\quad l:\ y=\frac12 x.$$

(2)

2曲線の共有点の $x$ 座標は $x\ge 1$ を満たす必要がある。$x\ge 1$ で$$h(x):=f(x)-g(x)=(1-\log 2)+\log x-\sqrt{x-1}$$とおく。$h$ は $x\ge1$ の範囲で連続，$x>1$ の範囲で微分可能で$$\displaystyle h'(x)=\frac{1}{x}-\frac{1}{2\sqrt{x-1}}\quad(x>1).$$

ここで $u=\sqrt{x-1}\ (u>0,\ x=u^{2}+1)$ とおくと，恒等式 $(u-1)^{2}\ge 0$ すなわち $u^{2}-2u+1\ge 0$ より$$u^{2}+1\ge 2u\text{すなわち} x\ge 2\sqrt{x-1},$$等号は $u=1$ すなわち $x=2$ のときに限る。$x>1$ で $x>0$，$2\sqrt{x-1}>0$ であるから，両辺の逆数をとると不等号の向きが反転して$$\displaystyle \frac{1}{x}\le\frac{1}{2\sqrt{x-1}}\quad\text{（等号は $x=2$ のときのみ）}.$$$h(2)=f(2)-g(2)=1-1=0$ である。$x>1$ とし，$u=\sqrt{x-1}>0$ とおくと $x=u^2+1$ だから，$$\displaystyle h'(x)=\frac1x-\frac1{2\sqrt{x-1}}=\frac{2u-(u^2+1)}{2xu}=-\frac{(u-1)^2}{2xu}\le0.$$分母は正であり，等号は $u=1$，すなわち $x=2$ のときだけである。$1\le x<2$ では，$h(t)$ は $x\le t\le2$ で連続、$x<t<2$ で微分可能なので，平均値の定理により $x<c<2$ を満たす $c$ が存在して $h(2)-h(x)=h'(c)(2-x)$ となる。$1<c<2$ だから $h'(c)<0$ であり，$h(2)-h(x)<0$，したがって $h(x)>0$ である。また $x>2$ では，平均値の定理により $2<c<x$ を満たす $c$ が存在して $h(x)-h(2)=h'(c)(x-2)$ となる。$c>2$ だから $h'(c)<0$ であり，$h(x)-h(2)<0$，したがって $h(x)<0$ である。以上より，$h(x)=0$ となるのは $x=2$ のみである。よって2曲線の共有点は $P(2,1)$ だけである。

(3)

まず各曲線と $x$ 軸との交点を求める。$g(1)=0$ であるから $g$ は $x=1$ で $x$ 軸と交わる（$g$ の定義域の左端）。$f(x)=0$ を解くと$$\displaystyle a+\log x=0\text{すなわち} \log x=-a=\log 2-1\text{すなわち} x=e^{\log 2-1}=\frac{2}{e}.$$$e>2$ より $\displaystyle 0<\dfrac{2}{e}<1$ である。

(1)(2) より，$h(x)=f(x)-g(x)$ は $1\le x\le2$ の範囲で単調減少し $h(1)=1-\log 2>0$，$h(2)=0$ であるから，$1\le x\le 2$ で $f(x)\ge g(x)\ge 0$ が成り立つ。また $f$ は単調増加で $f(2/e)=0$，$f(1)=1-\log2>0$ であるから，$2/e\le x\le 1$ で $f(x)\ge 0$ である。

したがって「2曲線と $x$ 軸で囲まれた部分」は，$x$ 軸上の $2/e\le x\le1$ の部分を下辺，$y=f(x)\ (2/e\le x\le 2)$ を上側の境界，$y=g(x)\ (1\le x\le 2)$ を下側（右寄り）の境界とする閉領域であり，その面積 $S$ は$$\displaystyle S=\int_{2/e}^{1}f(x)\,dx+\int_{1}^{2}\bigl(f(x)-g(x)\bigr)\,dx=\int_{2/e}^{2}f(x)\,dx-\int_{1}^{2}g(x)\,dx.$$

【$f$ の原始関数】部分積分により$$\displaystyle \int \log x\,dx=x\log x-\int x\cdot\frac1x\,dx=x\log x-x+C$$であるから$$\displaystyle \int f(x)\,dx=\int(a+\log x)\,dx=ax+x\log x-x+C.$$$a=1-\log2$ を代入すると$$\displaystyle F(x):=ax+x\log x-x=(a-1)x+x\log x=-x\log 2+x\log x=x(\log x-\log 2)=x\log\frac{x}{2}$$は $f$ の原始関数の一つである（実際 $\displaystyle F'(x)=\log\dfrac{x}{2}+x\cdot\dfrac1x=\log\dfrac{x}{2}+1=\log x-\log2+1=f(x)$）。

よって$$\displaystyle \int_{2/e}^{2}f(x)\,dx=F(2)-F\!\left(\frac{2}{e}\right).$$$F(2)=2\log 1=0$。$\displaystyle F\!\left(\dfrac{2}{e}\right)=\dfrac{2}{e}\log\!\left(\dfrac{1}{e}\right)=\dfrac{2}{e}\cdot(-1)=-\dfrac{2}{e}$。したがって$$\displaystyle \int_{2/e}^{2}f(x)\,dx=0-\left(-\frac{2}{e}\right)=\frac{2}{e}.$$

【$g$ の定積分】$u=x-1$ と置換すると $du=dx$，$x:1\to2$ に対し $u:0\to1$ であるから$$\displaystyle \int_{1}^{2}g(x)\,dx=\int_{1}^{2}\sqrt{x-1}\,dx=\int_{0}^{1}\sqrt{u}\,du=\left[\frac{2}{3}u^{3/2}\right]_{0}^{1}=\frac{2}{3}.$$

以上より$$\displaystyle S=\frac{2}{e}-\frac{2}{3}=\frac{6-2e}{3e}.$$数値的にも $2/e\approx0.7358>2/3\approx0.6667$ より $S\approx0.069>0$ であり，2曲線が $P$ で接する（極めて接近する）ことと整合する妥当な結果である。