2九州大学 2008年 数学 第2問解答・解説

1から10までの番号が1つずつ書かれた10枚のカードから，よくきった状態で1枚を抜き取り，その番号を$X$とする。$X$は$1,2,\dots ,10$の値をそれぞれ確率$\displaystyle \dfrac{1}{10}$でとる。

$X>k$ならば得点はそのまま$X$であり，$X\le k$ならば抜き取ったカードを戻さずに残り9枚から1枚を抜き取り，その番号を$Y$として得点は$Y$となる。$X=x\ (1\le x\le k)$の下で，$Y$は$x$を除く9枚の番号の中から等確率で選ばれるので，$Y$がある値$n\ (\ne x)$をとる条件付き確率は$\displaystyle \dfrac{1}{9}$であり，$Y=x$となることはない（そのカードはすでに抜かれているため）。

(1)(2) 得点が$n$である確率（$1\le n\le 10$）

確率の加法定理・乗法定理により$$\displaystyle P(\text{得点}=n)=P(X=n,\ X>k)+\sum\limits _{x=1}^{k}P(X=x)\,P(Y=n\mid X=x).$$第1項は$n>k$のとき$\displaystyle \dfrac{1}{10}$，$n\le k$のとき$0$である。第2項の和において，$x=n$の項は$P(Y=n\mid X=n)=0$なので寄与せず，$x\neq n$の項はそれぞれ$\displaystyle \dfrac{1}{10}\cdot\dfrac{1}{9}=\dfrac{1}{90}$である。

場合分けすると，

・ $n\le k$のとき：1以上k以下の整数$x$のうち$x\neq n$となるものは$k-1$個なので$$\displaystyle P(\text{得点}=n)=0+\dfrac{k-1}{90}=\dfrac{k-1}{90}.$$

・ $n> k$のとき：1以上k以下の整数$x$はすべて$x<n$なので$x\neq n$が自動的に成り立ち，$k$個の項が寄与する。よって$$\displaystyle P(\text{得点}=n)=\dfrac{1}{10}+\dfrac{k}{90}=\dfrac{9+k}{90}.$$

検算：確率の総和が1になることを確認する。$n=1,\dots ,k$の$k$個は各$\displaystyle \dfrac{k-1}{90}$，$n=k+1,\dots ,10$の$10-k$個は各$\displaystyle \dfrac{k+9}{90}$であるから，総和は$$\displaystyle \dfrac{k(k-1)+(10-k)(k+9)}{90}=\dfrac{(k^{2}-k)+(10k+90-k^{2}-9k)}{90}=\dfrac{90}{90}=1$$となり，確率として矛盾しない。

問題の設定では$2\le k\le 9$であるから，$n=1$は常に$n\le k$（$k\ge 2$より）に，$n=10$は常に$n>k$（$k\le 9$より）に該当する。したがって$$\displaystyle P(\text{得点}=1)=\dfrac{k-1}{90},\qquad P(\text{得点}=10)=\dfrac{k+9}{90}.$$また，$2\le n\le 9$の整数$n$に対しては$$\displaystyle P(\text{得点}=n)=\begin{cases}\dfrac{k-1}{90}, & 2\le n\le k\ \text{のとき}\\[6pt]\dfrac{k+9}{90}, & k< n\le 9\ \text{のとき}\end{cases}$$である（$n\le k$を満たす整数$n$が存在しない，すなわち$k$が最小値の$2$であっても$n=2$は$n\le k$に含まれ矛盾なく定義される）。

(3) 得点の期待値

(1)(2)の結果を用いて$$\displaystyle E=\sum\limits _{n=1}^{k}n\cdot\dfrac{k-1}{90}+\sum\limits _{n=k+1}^{10}n\cdot\dfrac{k+9}{90}.$$$\displaystyle\sum\limits _{n=1}^{k}n=\dfrac{k(k+1)}{2}$，$\displaystyle\sum\limits _{n=1}^{10}n=55$より$\displaystyle\sum\limits _{n=k+1}^{10}n=55-\dfrac{k(k+1)}{2}$であるから，$$\displaystyle E=\dfrac{k-1}{90}\cdot\dfrac{k(k+1)}{2}+\dfrac{k+9}{90}\left(55-\dfrac{k(k+1)}{2}\right)=\dfrac{-5k(k+1)+55(k+9)}{90}=\dfrac{-5k^{2}+50k+495}{90}=\dfrac{99+10k-k^{2}}{18}.$$

検算（別法）：$X$自身の値による直接計算でも確かめる。$X=x\le k$のときの得点$Y$の期待値は，$1$から$10$の総和$55$から$x$を除いた9枚の平均$\displaystyle \dfrac{55-x}{9}$である。よって$$\displaystyle E=\sum\limits _{x=k+1}^{10}x\cdot\dfrac{1}{10}+\sum\limits _{x=1}^{k}\dfrac{1}{10}\cdot\dfrac{55-x}{9}=\dfrac{1}{10}\left(55-\dfrac{k(k+1)}{2}\right)+\dfrac{1}{90}\left(55k-\dfrac{k(k+1)}{2}\right)=\dfrac{495+50k-5k^{2}}{90}=\dfrac{99+10k-k^{2}}{18}$$となり，先の結果と一致する。

さらに$k=2$（$\displaystyle E=\dfrac{115}{18}$）と$k=9$（$\displaystyle E=\dfrac{108}{18}=6$）について，(1)(2)の確率を直接代入した和でも同じ値が得られることを確認済みである。

以上より$$\displaystyle E=\dfrac{99+10k-k^{2}}{18}.$$