13千葉大学 2003年 数学 第13問解答・解説

[ア] 正方形の対角線の中点は一致し、長さは等しく直交するので $$a+z^2=z+z^3,\qquad a-z^2=\pm i(z-z^3).$$ 前式より $a=\allowbreak{}z+z^3-z^2$。4点が異なるため $z\ne0$ であり、後式へ代入して $$1+z^2-2z=\pm i(1-z^2).$$ 複号が正なら $(1+i)z^2-2z+(1-i)=\allowbreak{}0$ より $z=\allowbreak{}1,\allowbreak{}-i$、負なら $(1-i)z^2-2z+(1+i)=\allowbreak{}0$ より $z=\allowbreak{}1,\allowbreak{}i$。$z=\allowbreak{}1$ は点が重なるため除く。したがって $z=\allowbreak{}\pm i$、$a=\allowbreak{}1$。実際に4点は $1,\allowbreak{}i,\allowbreak{}-1,\allowbreak{}-i$ となる。

[イ](1) 流れ図のA点でまず $l=\allowbreak{}h$ を調べる。異なるなら $m=\allowbreak{}(h+l)\mathop{\rm div}2$ を計算し、$b\le a[m]$ なら $h=\allowbreak{}m$、そうでなければ $l=\allowbreak{}m+1$ として $k$ を1増やす。$b$ は $a[5]$ と $a[6]$ の間なので $$\begin{array}{c|ccc}k&l&h\\\hline1&1&16\\2&1&8\\3&5&8\\4&5&6\\5&6&6\end{array}.$$ 最後は $l=\allowbreak{}h=\allowbreak{}6$ かつ $b\ne a[6]$ なので $m=\allowbreak{}0$ で終了する。

[イ](2) 候補の個数を $N=\allowbreak{}h-l+1$ とする。初期値は $2^p$ で、$N$ が2のべきの間、各分岐で候補区間は半分になる。A点の第 $k$ 回訪問では $$N=2^{p-k+1}.$$ $l=\allowbreak{}h$、すなわち $N=\allowbreak{}1$ で終了するから $k=\allowbreak{}p+1$。

[ウ](1) カード $i$ が一致すれば1、そうでなければ0となる変数 $I_i$ を定める。$X=\allowbreak{}I_1+I_2+I_3+I_4$ で、各カードの一致確率は $1/4$。よって $$\displaystyle E[X]=\sum\limits _{i=1}^4E[I_i]=1.$$ [ウ](2)(3) どの数も元の位置にない並べ方を $D_n$ とすると $D_0=\allowbreak{}1,\allowbreak{}D_1=\allowbreak{}0$。1の行き先 $j\ne1$ は $n-1$ 通り。$j$ から1へ戻る場合は残りが $D_{n-2}$ 通り、戻らない場合は1を含む巡回から1を除く対応により $D_{n-1}$ 通りだから $$D_n=(n-1)(D_{n-1}+D_{n-2}).$$ したがって $D_2=\allowbreak{}1,\allowbreak{}D_3=\allowbreak{}2,\allowbreak{}D_4=\allowbreak{}9,\allowbreak{}D_5=\allowbreak{}44$。よって $$\displaystyle P(X=0)=\frac{44}{120}=\frac{11}{30}.$$ ちょうど1枚一致する並べ方は $5D_4=\allowbreak{}45$ 通り、$X\ge1$ の並べ方は $5!-D_5=\allowbreak{}76$ 通りであるから $$\displaystyle P(X=1\mid X\ge1)=\frac{45}{76}.$$