2千葉大学 2003年 数学 第2問解答・解説

(1) $\theta=\angle BAD=\angle DAC$ とする。共通の高さを用いて $$\displaystyle \frac{[ABD]}{[ACD]}=\frac{BD}{DC}.$$ 二辺とその間の角で面積を表すと $$\displaystyle \frac{[ABD]}{[ACD]} =\frac{\frac12 AB\cdot AD\sin\theta}{\frac12 AC\cdot AD\sin\theta} =\frac{AB}{AC}.$$ 従って $AB:AC=BD:DC$。

(2) (1)より $BD:DC=1:2$。$BD=s,\ DC=2s$ とおく。余弦定理を二つの部分三角形に使うと $$s^2=5-4\cos\theta,\qquad 4s^2=17-8\cos\theta.$$ これらから $\cos\theta=3/8,\ s^2=7/2$ を得る。従って $$\displaystyle BC=3s=\frac{3\sqrt{14}}2.$$ さらに $$\displaystyle \sin\theta=\sqrt{1-\left(\frac38\right)^2}=\frac{\sqrt{55}}8,$$ よって $$\displaystyle [ABC]=\frac12(AB+AC)AD\sin\theta =3\cdot\frac{\sqrt{55}}8=\frac{3\sqrt{55}}8.$$

第一問は面積比を共通高さ、次に等しい角で二通りに計算。第二問の余弦定理2式から$\displaystyle \cos\theta=\frac38,\ s^2=\frac72$。θは三角形内の角なので$\sin\theta>0$。