12千葉大学 2003年 数学 第12問解答・解説

[ア](1) $a[5]<b<a[6]$ として流れ図をたどる。各行はA点に到達したときの値である。 $$\begin{array}{c|ccc|l} \text{訪問}&k&l&h&\text{この後の分岐}\\\hline 1&1&1&16&m=8,\ b\le a[8]\text{ より }h=8\\ 2&2&1&8&m=4,\ b>a[4]\text{ より }l=5\\ 3&3&5&8&m=6,\ b<a[6]\text{ より }h=6\\ 4&4&5&6&m=5,\ b>a[5]\text{ より }l=6\\ 5&5&6&6&b\ne a[6]\text{ なので }m=0\text{ として終了} \end{array}$$

[ア](2) A点で候補添字の個数を $N=h-l+1$ とする。初期値は $N=2^p,\ k=1$ である。$N=2^q\ (q\ge1)$ のとき、$m=(h+l)\operatorname{div}2$ で区間を二分すると、どちらの分岐でも候補数は $N/2$ になる。A点へ戻るたび $k$ は1増えるので、 $$h-l+1=2^{p-(k-1)}=2^{p-k+1},\qquad 2^{k-1}(h-l+1)=2^p.$$ 終了時は $h=l$ だから $h-l+1=1$、したがって $k=p+1$ である。

[イ](1) Aを原点とする位置ベクトルを考える。 $$\overrightarrow{AB}=\vec a,\quad \overrightarrow{AC}=\vec a+\vec b,\quad \overrightarrow{AD}=\vec a+\vec b+\vec c.$$ $\overrightarrow{ED}=\vec a$ より $\overrightarrow{AE}=\vec b+\vec c$、$\overrightarrow{FE}=\vec b$ より $\overrightarrow{AF}=\vec c$。

[イ](2) 三角形ACEとBDFの重心の位置ベクトルは $$\displaystyle \frac{\vec a+2\vec b+\vec c}{3},\qquad \frac{2\vec a+\vec b+2\vec c}{3}.$$ これらが等しいので $\vec b=\vec a+\vec c$。

[イ](3) $\vec b=\vec a+\vec c$ とする。Aを原点とすれば $$B=\vec a,\ C=2\vec a+\vec c,\ D=2\vec a+2\vec c,\ E=\vec a+2\vec c,\ F=\vec c.$$ 内積条件から $$|\vec a|^2=\vec a\cdot\vec b-\vec a\cdot\vec c=5,\qquad |\vec c|^2=\vec b\cdot\vec c-\vec a\cdot\vec c=2,\qquad \vec a\cdot\vec c=-1.$$ $\theta$ を $\vec a,\vec c$ のなす角、$S$ をそれらが張る平行四辺形の面積とする。底辺×高さと $\vec a\cdot\vec c=|\vec a||\vec c|\cos\theta$ より $$S=|\vec a||\vec c|\sin\theta,\qquad S^2=|\vec a|^2|\vec c|^2-(\vec a\cdot\vec c)^2=5\cdot2-(-1)^2=9, \quad S=3.$$ 頂点 $0,2\vec a,2\vec a+2\vec c,2\vec c$ の平行四辺形の面積は $4S$。B,C,E,Fは各辺の中点なので、六角形は頂点 $2\vec a$ と $2\vec c$ の隅の三角形を切り取った形になる。各三角形の面積は $S/2$ だから、 $$\displaystyle \operatorname{Area}(ABCDEF)=4S-\frac S2-\frac S2=3S=9.$$

[ア]は二分探索の各分岐で候補数が半分になることを追う。[イ]は位置ベクトルと重心から六角形の頂点をa,c基底で表し、内積と底辺×高さで面積を計算する。六角形の基底座標の面積は生成平行四辺形の3倍となる。