I順天堂大学 2009年 数学 第I問解答・解説

(1) グラフを左へ2だけ平行移動すると $g(x)=f(x+2)$ である。よって $$g(x)=(x+2)^3-6(x+2)^2+7(x+2)+4=x^3-5x+2,$$ したがって $a=0,\ b=-5,\ c=2$。特に $$g(x)+g(-x)=4=2c.$$ 変数変換 $t=x+2$ により $$\displaystyle I=\int_{-2}^{2}g(x)\,dx =\int_0^2\{g(x)+g(-x)\}\,dx =2\int_0^2c\,dx=8.$$ したがって $\text{ア}=8,\ \text{イ}=0,\ \text{ウエ}=-5,\ \text{オ}=2$ である。

(2) 絶対値の中身の符号で場合分けすると $$y= \begin{cases} (x+3)^2(x-3),&x\le-3\text{ または }x\ge3,\\ (x-3)^2(x+3),&-3\le x\le3. \end{cases}$$ それぞれの区間で微分すると $$y'= \begin{cases} 3(x+3)(x-1),&x<-3\text{ または }x>3,\\ 3(x-3)(x+1),&-3<x<3. \end{cases}$$ したがって $x<-3$ または $-3<x<-1$ では $y'>0$，$-1<x<3$ では $y'<0$，$x>3$ では $y'>0$。$x=-3$ では両側で増加し極値でない。$x=3$ では左側で減少し右側で増加するので極小である。また $x=-1$ では増加から減少に変わるので極大である。値は $$y(-1)=(-1-3)^2(-1+3)=32,\qquad y(3)=0.$$ よって極値は2個で，最も小さい $x$ 座標でとる極大値は $32$，最も大きい $x$ 座標でとる極小値は $0$。マーク欄は $$\text{ア}=2,\quad \text{イウ}=-1,\quad \text{エオ}=32,\quad \text{カ}=3,\quad \text{キ}=0.$$

(3) $\det P=2\cdot2-(-3)(-1)=1$ なので $$Q=P^{-1}=\begin{pmatrix}2&3\\1&2\end{pmatrix}.$$ 直接乗算して $$\displaystyle B=PAQ=\begin{pmatrix}1&2\\0&\frac13\end{pmatrix},\quad B^2=\begin{pmatrix}1&\frac83\\0&\frac19\end{pmatrix},\quad B^3=\begin{pmatrix}1&\frac{26}{9}\\0&\frac1{27}\end{pmatrix}.$$ さらに $$\displaystyle B^n=\begin{pmatrix}1&2(1+\frac13+\cdots+\frac1{3^{n-1}})\\ 0&\frac1{3^n}\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}1&3(1-\frac1{3^n})\\0&\frac1{3^n}\end{pmatrix}.$$ $B=PAQ$, $Q=P^{-1}$ より $A=QBP$ であり，$PQ=QP=I$ を用いて $A^n=QB^nP$。したがって $$\displaystyle \lim\limits _{n\to\infty}A^n =\begin{pmatrix}2&3\\1&2\end{pmatrix} \begin{pmatrix}1&3\\0&0\end{pmatrix} \begin{pmatrix}2&-3\\-1&2\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}-2&6\\-1&3\end{pmatrix}.$$ 各マーク欄の値は $$\begin{gathered} \text{ア}=2,\ \text{イ}=3,\ \text{ウ}=1,\ \text{エ}=2,\ \text{オ}=1,\ \text{カ}=2,\ \text{キ}=0,\ \text{ク}=1,\ \text{ケ}=3,\\ \text{コ}=1,\ \text{サ}=8,\ \text{シ}=3,\ \text{ス}=0,\ \text{セ}=1,\ \text{ソ}=9,\ \text{タ}=1,\ \text{チツ}=26,\ \text{テ}=9,\ \text{ト}=0,\ \text{ナ}=1,\ \text{ニヌ}=27,\\ \text{ネノ}=-2,\ \text{ハ}=6,\ \text{ヒフ}=-1,\ \text{ヘ}=3. \end{gathered}$$

(4) $\vec a=(1,2,1),\ \vec b=(2,1,1),\ \vec c=(1,4,-2)$ である。まず $$(\vec a+\vec b)\cdot(\vec a-\vec b)=|\vec a|^2-|\vec b|^2=6-6=0,$$ また $\vec a+\vec b=(3,3,2)$，$\vec a-\vec b=(-1,1,0)$ なので，両者を単位化した $\vec d,\vec e$ は直交する単位ベクトルである： $$\displaystyle \vec d=\frac{(3,3,2)}{\sqrt{22}},\qquad \vec e=\frac{(-1,1,0)}{\sqrt2}.$$ $$\displaystyle \vec c\cdot\vec d=\frac{11}{\sqrt{22}}=\frac{\sqrt{22}}2,\qquad \vec c\cdot\vec e=\frac3{\sqrt2}=\frac{3\sqrt2}2.$$ $\vec p=x\vec d+y\vec e$ とおくと $|\vec p|^2=x^2+y^2$ であり，直交条件は $$\displaystyle 0=\vec p\cdot(\vec c-\vec p) =\frac{\sqrt{22}}2x+\frac{3\sqrt2}2y-x^2-y^2.$$ 平方完成して $$\displaystyle \left(x-\frac{\sqrt{22}}4\right)^2+ \left(y-\frac{3\sqrt2}4\right)^2 =\frac{22+18}{16}=\frac52.$$ したがって円の中心ベクトルは $$\displaystyle \frac{\sqrt{22}}4\vec d+\frac{3\sqrt2}4\vec e =\left(\frac34,\frac34,\frac12\right)+\left(-\frac34,\frac34,0\right) =\left(0,\frac32,\frac12\right),$$ 半径は $\sqrt{5/2}=\sqrt{10}/2$ である。

最後に $\vec p_0=2\vec a-\vec b=(0,3,1)$，$\vec n=\vec c-\vec p_0=(1,1,-3)$ とおく。$\vec n\cdot\vec a=\vec n\cdot\vec b=0$ より $\vec n$ は平面 $OAB$ に垂直で，$\vec p_0$ はその平面上にある。また $\vec p_0\cdot\vec n=0$ だから $\vec p_0$ は条件を満たす軌跡上の点である。任意の軌跡上の $\vec p$ について $\vec p_0-\vec p$ は平面内にあり，$\vec n$ と直交するので $$|\vec q|^2=|\vec c-\vec p|^2 =|\vec n+(\vec p_0-\vec p)|^2 =|\vec n|^2+|\vec p_0-\vec p|^2\ge11.$$ $\vec p=\vec p_0$ で等号となり，$\vec q=(1,1,-3)$。従って最小値は $\sqrt{11}$ である。マーク欄は $$\begin{gathered} \text{ア}=0,\ \text{イウ}=22,\ \text{エ}=2,\ \text{オカ}=22,\ \text{キ}=4,\ \text{ク}=3,\ \text{ケ}=2,\ \text{コ}=4,\ \text{サ}=5,\ \text{シ}=2,\\ \text{ス}=0,\ \text{セ}=3,\ \text{ソ}=2,\ \text{タ}=1,\ \text{チ}=2,\ \text{ツテ}=10,\ \text{ト}=0,\ \text{ナ}=3,\ \text{ニ}=1,\ \text{ヌ}=1,\ \text{ネ}=1,\ \text{ノハ}=-3,\ \text{ヒフ}=11. \end{gathered}$$