11千葉大学 2003年 数学 第11問解答・解説

素数 $p$ と整数 $x$ が $$p x^2+(5-p^2)x-3p=0$$ を満たすとする。両辺を法 $p$ で考えると $5x\equiv0\pmod p$ である。

まず $p=5$ のとき、元の式を5で割ると $$x^2-4x-3=0,\qquad (x-2)^2=7.$$ しかし $2^2<7<3^2$ なので、整数 $x$ では成立しない。

次に $p\ne5$ とする。$p$ は素数で $p\nmid5$ だから、$p\mid5x$ より $p\mid x$。そこで $x=pk$（$k\text{ は整数}$）とおき、元の式を代入して $p$ で割ると $$p^2k(k-1)+5k-3=0. \tag{1}$$ $k\ge1$ なら左辺は $k=1$ で2、$k\ge2$ では正である。また $k=0$ では左辺は $-3$。したがって $k=-m$（$m\ge1$）でなければならず、(1) は $$\displaystyle p^2m(m+1)=5m+3, \qquad p^2=\frac{5m+3}{m(m+1)}$$ となる。

$m\ge2$ なら $$4m(m+1)-(5m+3)=(m-1)(4m+3)>0,$$ したがって $p^2<4$ となる。これは素数 $p\ge2$ に反するので $m=1$。このとき $p^2=4$ より $p=2$ であり、$x=pk=-2$ である。実際、$p=2,x=-2$ を元の式に代入すると $$2(-2)^2+(5-2^2)(-2)-3\cdot2=8-2-6=0.$$ よって整数解をもつのは、ちょうど $\boxed{p=2}$ のときである。