1秋田大学 2012年 数学 第1問解答・解説

$Q=4x^2+12y^2-12xy+4x-18y+7$ とおくと、平方完成により $$Q=(2x-3y+1)^2+3(y-2)^2-6$$ となる。2つの平方項は非負であるから $Q\ge -6$。等号は $y=2$ かつ $2x-3y+1=0$、すなわち $(x,y)=(5/2,2)$ のときに成立する。よって最小値は $-6$。

(ii) $x,y$ が隣り合う整数なので、$x=y+1$ または $x=y-1$ である。

$x=y+1$ のとき $$\displaystyle Q=4y^2-18y+15=\frac{(4y-9)^2-21}{4}.$$ $Q<0$ なら $(4y-9)^2<21$。整数 $y$ に対し、これを満たすのは $y=2,3$ であり、それぞれ $Q=-5,-3$ となる。

$x=y-1$ のとき $$\displaystyle Q=4y^2-10y+7=4\left(y-\frac54\right)^2+\frac34>0$$ なので負の値は生じない。したがって負の $a$ の最大値は $-3$ であり、そのとき $y=3,\ x=y+1=4$。