秋田大学 2012年数学第2問解答・解説

図形と計量三角関数

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1問題

秋田大学2012年度第2問

a を実数とする。θ が

$\displaystyle \frac {1}{\sin \theta} - \frac {1}{\cos \theta} = a$

を満たしているとき，次の問いに答えよ。ただし， $0^{\circ}<\theta<45^{\circ}$ とする。

(i) $\cos\theta - \sin\theta$ を a で表せ。

(ii) $\displaystyle a = \frac{4}{3}$ のとき, $\theta$ と $25^{\circ}$ の大小を比べよ。

まずは自分で解いてみましょう。詰まったら「考え方」、解けたら「答え」で確かめられます。

2答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる

(i) $\displaystyle \quad \cos\theta-\sin\theta=\frac{\sqrt{1+a^2}-1}{a}=\frac{a}{\sqrt{1+a^2}+1}\quad$ （条件より $\quad a>0\quad$ ）。(ii) $\quad \theta<25^\circ\quad$ .

3解答

解答を見る途中式つきの解答

(i) $d=\cos\theta-\sin\theta>0$ とおくと $d^2=1-2\sin\theta\cos\theta$ および $a=d/(\sin\theta\cos\theta)$ より $ad^2+2d-a=0$ 。したがって $\displaystyle d=\frac{\sqrt{1+a^2}-1}{a}=\frac{a}{\sqrt{1+a^2}+1}$ （条件から $a>0$ ）。

(ii) $a=4/3$ なら $d=1/2$ で $\sin2\theta=3/4$ 。 $u=\cos40^\circ=\sin50^\circ$ とおくと $u>1/2$ かつ $8u^3-6u+1=0$ 。 $f(x)=8x^3-6x+1$ は $x>1/2$ で増加し、 $f(3/4)=-1/8<0=f(u)$ だから $u>3/4$ 。ゆえに $\sin50^\circ>\sin2\theta$ で、 $\theta<25^\circ$ 。

差の三角関数を正の未知数dに置き換えて解き、三倍角の符号比較で角度を判定。

この問題で使う考え方

三角関数の相互関係
二倍角・三倍角
単調性を用いた不等式比較

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