6自治医科大学 2013年 数学 第6問解答・解説

$0<\theta<\pi/2$ かつ $\cos\theta=1/\sqrt5$ なので $$\displaystyle \sin\theta=\sqrt{\frac45}=\frac2{\sqrt5},\qquad \tan\theta=2.$$ また、$\sin^2\theta=4/5,\ \cos^2\theta=1/5,\ \sin\theta\cos\theta=2/5$ より $$\displaystyle \frac{1-\tan\theta}{1+\tan\theta}=-\frac13,\qquad \frac{\sin^2\theta-\cos^2\theta}{1+2\sin\theta\cos\theta} =\frac{3/5}{9/5}=\frac13.$$ さらに $\sin2\theta=4/5,\ \cos2\theta=-3/5$ だから $$\displaystyle \frac{\sin2\theta}{1+\cos2\theta}=\frac{4/5}{2/5}=2.$$ 求める値は $-1/3+1/3+2=2$、選択肢はサである。