自治医科大学 2013年数学第4問解答・解説

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1問題

自治医科大学2013年度第4問

$\displaystyle \omega=\frac{-1+\sqrt{3}i}{2},\quad(i^{2}=-1)$ のとき, $\omega^{20}+\omega^{19}+\omega^{8}+\omega^{6}+\omega^{4}+\omega^{3}$ の値を求めよ。

選択肢: ア 0, カ 1, サ 2, タ 3, ナ 4.

ハ 5, マ 6, ヤ 7, ラ 8, ワ 9.

まずは自分で解いてみましょう。詰まったら「考え方」、解けたら「答え」で確かめられます。

2考え方

考え方を見る解き方の方針だけを確かめる

複素数ωが満たす三乗根の関係で各べきを周期的に簡約した。

3答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる

$\omega^{20}+\omega^{19}+\omega^8+\omega^6+\omega^4+\omega^3=0\quad($ ア)

4解答

解答を見る途中式つきの解答

$\displaystyle \omega=\frac{-1+\sqrt3\,i}{2} \quad\text{を二乗すると}\quad \omega^2=\frac{-1-\sqrt3\,i}{2},$ したがって $1+\omega+\omega^2=0$ および $\omega^3=1$ である。指数を3で割った余りに直すと $\omega^{20}+\omega^{19}+\omega^8+\omega^6+\omega^4+\omega^3 =\omega^2+\omega+\omega^2+1+\omega+1 =2(1+\omega+\omega^2)=0.$ よって値は0、選択肢はアである。

この問題で使う考え方

複素数の四則演算

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