東邦大学 2012年数学第11問解答・解説

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1問題

東邦大学2012年度第11問

3次方程式 $x^3-x^2-4x-1=0$ の3つの解を $\alpha,\beta,\gamma$ とするとき, $\displaystyle \left(\alpha+\frac{1}{\alpha}\right)\left(\beta+\frac{1}{\beta}\right)\left(\gamma+\frac{1}{\gamma}\right)=\boxed{\text{ネノ}}$ である.

まずは自分で解いてみましょう。詰まったら「考え方」、解けたら「答え」で確かめられます。

2考え方

考え方を見る解き方の方針だけを確かめる

解と係数の関係で分母を処理し、複素数代入を用いて対称積を求める。

3答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる

$\displaystyle \left(\alpha+\frac1\alpha\right)\left(\beta+\frac1\beta\right)\left(\gamma+\frac1\gamma\right)=25\quad($ ネ $=2,\space{}$ ノ $=5).$

4解答

解答を見る途中式つきの解答

$p(x)=x^3-x^2-4x-1$ とする。解の積は解と係数の関係から $\alpha\beta\gamma=1$ であり、特に各解は0ではない。従って $\displaystyle \left(\alpha+\frac1\alpha\right)\left(\beta+\frac1\beta\right)\left(\gamma+\frac1\gamma\right)=\frac{(\alpha^2+1)(\beta^2+1)(\gamma^2+1)}{\alpha\beta\gamma}=(\alpha-i)(\alpha+i)(\beta-i)(\beta+i)(\gamma-i)(\gamma+i).$ 三次式なので $\displaystyle p(i)=\prod(i-r)=-\prod(r-i)$ 、 $\displaystyle p(-i)=\prod(-i-r)=-\prod(r+i)$ であり、二つの負号は積で打ち消される。 $p(i)=i^3-i^2-4i-1=-5i,\qquad p(-i)=5i.$ よって求める積は $p(i)p(-i)=(-5i)(5i)=25.$

この問題で使う考え方

複素数の四則演算
解と係数の関係

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