6自治医科大学 2010年 数学 第6問解答・解説

係数が実数なので、$\displaystyle \frac{3-\sqrt7 i}{2}$ が解なら、その共役な $\displaystyle \frac{3+\sqrt7 i}{2}$ も解である。残る解を $r$ とする。二つの共役な解の和と積は $$\displaystyle \frac{3-\sqrt7 i}{2}+\frac{3+\sqrt7 i}{2}=3,\qquad \frac{(3-\sqrt7 i)(3+\sqrt7 i)}4=4.$$ 解と係数の関係より三解の積は $8$ なので $4r=8$、すなわち $r=2$。三解の和は $5=-a$ だから $a=-5$。また二解ずつの積の和は $$b=4+2\cdot3=10.$$ したがって $a+b=-5+10=5$。検算すると、根を用いた多項式は $$(x-2)(x^2-3x+4)=x^3-5x^2+10x-8$$ となり、係数からも同じ値を得る。