12自治医科大学 2010年 数学 第12問解答・解説

円の方程式を平方完成すると、$$(x+1)^2+(y+3)^2=4$$ となるから、中心は $(-1,-3)$、半径は $2$ である。直線は $-2x+y+m=0$ と書けるので、中心から直線までの距離は$$\displaystyle d=\frac{|-2(-1)+(-3)+m|}{\sqrt{(-2)^2+1^2}}=\frac{|m-1|}{\sqrt{5}}.$$ 円と直線が相異なる2点で交わる条件は $d<2$ である。したがって $|m-1|<2\sqrt{5}$、すなわち $1-2\sqrt{5}<m<1+2\sqrt{5}$ である。よって $a=1-2\sqrt{5}, b=1+2\sqrt{5}$ であり、$$\displaystyle \frac{(b-a)^2}{16}=\frac{(4\sqrt{5})^2}{16}=5.$$したがって求める数値は $5$ であり、対応する選択肢記号はハである。