18自治医科大学 2010年 数学 第18問解答・解説

三角形の角より $0^\circ<A<180^\circ$、$0^\circ<B/2<90^\circ$ である。したがって、$\sin^2 A=1/2$ から $A=45^\circ$ または $135^\circ$、$\sin^2(B/2)=1/2$ から $B/2=45^\circ$、すなわち $B=90^\circ$ を得る。 $A+B+C=180^\circ$ かつ $C>0^\circ$ なので $A<90^\circ$。よって $A=45^\circ$、$C=45^\circ$ である。正弦定理と、$AB=1$ が角 $C$ の対辺であることから $$\displaystyle \frac{a}{\sin45^\circ}=\frac{1}{\sin45^\circ},$$ ゆえに $a=1$。