25自治医科大学 2010年 数学 第25問解答・解説

$C_1$ と $C_2$ の交点は $-2x^2+10x=x^2-2x$ より $x=0,4$、したがって $P=(0,0), Q=(4,8)$ である。直線 $PQ$ の傾きは $2$。一方、$C_1$ の導関数は $-4x+10$ なので、傾き2の接線は $x=2$、接点 $(2,12)$ における $$L:y=2x+8$$ である。 $t=x-2$ とおくと、直線との差は $$L-C_1=2t^2,\qquad L-C_2=12-t^2.$$ また、$C_1$ と $C_2$ は $t=\pm2$ で交わり、$L$ と $C_2$ は $t=\pm2\sqrt3$ で交わる。したがって左右にできる2つの有界部分は対称で、片側の面積は $$\displaystyle \int_0^2 2t^2\,dt+\int_2^{2\sqrt3}(12-t^2)\,dt =\frac{16}{3}+16\sqrt3-\frac{64}{3}=16(\sqrt3-1).$$ よって全体の面積は $S=32(\sqrt3-1)$。したがって $$\displaystyle \left(\frac{S}{32}+1\right)^2=\left(\sqrt3-1+1\right)^2=3.$$