自治医科大学 2010年数学第19問解答・解説

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1問題

自治医科大学2010年度第19問

$A$ の箱に赤玉6個と青玉3個、 $B$ の箱に赤玉9個と青玉4個、 $C$ の箱に赤玉 $a$ 個と青玉9個が入っている。 $A,B,C$ それぞれの箱から玉を1個ずつ取り出すとき、その3個の玉のうちの1個の玉の色だけが異なる確率が $\displaystyle \frac{28}{39}$ となるとする。 $a$ の値を求めよ。

まずは自分で解いてみましょう。詰まったら「考え方」、解けたら「答え」で確かめられます。

2考え方

考え方を見る解き方の方針だけを確かめる

色のパターンが互いに排反となる場合を数え、全事象に対する確率を立式する。

3答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる

4解答

解答を見る途中式つきの解答

3個の玉のうち赤玉がちょうど1個となる場合と、青玉がちょうど1個となる場合は互いに重ならず、求める事象はこの和である。全事象の数は $9\cdot13\cdot(a+9)$ 通り。赤玉が1個となる場合の数は $6\cdot4\cdot9+3\cdot9\cdot9+3\cdot4\cdot a=459+12a,$ 青玉が1個となる場合の数は $3\cdot9\cdot a+6\cdot4\cdot a+6\cdot9\cdot9=486+51a.$ よって求める確率は $\displaystyle \frac{945+63a}{117(a+9)}=\frac{7(a+15)}{13(a+9)}.$ これが $28/39$ なので、 $39\cdot7(a+15)=28\cdot13(a+9)$ 。整理すると $91a=819$ 、したがって $a=9$ 。代入すると確率は $28/39$ となり、条件にも一致する。

この問題で使う考え方

確率の基本法則

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